1. Определение параллельных прямых и параллельных отрезков. Сформулировать аксиому параллельных прямых. 2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямую или обратную). Следствия из теоремы. 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если угол BCD равен 50°. B 4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС - равные хоры окружности AD - ее диаметр. Докажите, что DA - биссектриса угла BDC.

Билет 12

1. Параллельные прямые и отрезки. Аксиома параллельных прямых.

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются.

Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема (прямая): Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

Доказательство:

Пусть в \( \triangle ABC \) сторона \( AC \) больше стороны \( AB \) (\( AC > AB \)). Докажем, что \( \angle ABC > \angle ACB \).

Отложим на стороне \( AC \) отрезок \( AD \) равный стороне \( AB \) (\( AD = AB \)).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). Так как \( AD = AB \), то \( \triangle ABD \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ADB \).

Угол \( \angle ADB \) является внешним для \( \triangle BDC \). Поэтому \( \angle ADB = \angle DBC + \angle DCB \).

Так как \( \angle DBC > 0 \) и \( \angle DCB > 0 \) (углы треугольника), то \( \angle ADB > \angle DCB \).

Поскольку \( \angle ABD = \angle ADB \), то \( \angle ABD > \angle DCB \).

Угол \( \angle ABC \) состоит из двух углов: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).

Так как \( \angle ABD > \angle DCB \) и \( \angle DBC > 0 \), то \( \angle ABC > \angle DCB \), то есть \( \angle ABC > \angle ACB \).

Что и требовалось доказать.

Следствия:

• В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит большая сторона.
• В прямоугольном треугольнике против гипотенузы лежит больший угол (прямой).
• В равностороннем треугольнике все углы равны \( 60^{\circ} \) и все стороны равны.

3. Величина угла А.

Дан прямоугольный \( \triangle ABC \) (\( \angle C = 90^{\circ} \)), \( CD \) — высота. \( \angle BCD = 50^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle BCD \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle CBD + \angle BCD = 90^{\circ} \).

\( \angle CBD + 50^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle CBD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( \angle CBD \) — это угол \( \angle B \) в \( \triangle ABC \).

Теперь рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABC \). Сумма острых углов в нём равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).

\( \angle A + 40^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: Величина угла А равна 50°.

4. Доказательство, что DA — биссектриса угла BDC.

Дано: Окружность с центром в O. Точка A на окружности. AB и AC — равные хорды. AD — диаметр.

Доказать: DA — биссектриса \( \angle BDC \).

Доказательство:

1. Так как хорды AB и AC равны, то соответствующие им дуги равны: \( \text{arc} \; AB = \text{arc} \; AC \).

2. Угол BDC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Дуга BC состоит из двух равных дуг: \( \text{arc} \; BC = \text{arc} \; AB + \text{arc} \; AC = 2 \cdot \text{arc} \; AB \).

3. Угол BDA — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Его величина равна половине градусной меры дуги AB: \( \angle BDA = \frac{1}{2} \text{arc} \; AB \).

4. Угол CDA — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Так как \( \text{arc} \; AB = \text{arc} \; AC \), то \( \angle CDA = \frac{1}{2} \text{arc} \; AC = \frac{1}{2} \text{arc} \; AB \).

5. Так как \( \angle BDA = \frac{1}{2} \text{arc} \; AB \) и \( \angle CDA = \frac{1}{2} \text{arc} \; AB \), то \( \angle BDA = \angle CDA \).

Следовательно, DA является биссектрисой угла BDC.

Что и требовалось доказать.