1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Третий признак подобия треугольников (доказательство)

Решение:

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников:

1. Первый признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Второй признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
3. Третий признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство третьего признака подобия треугольников:

Пусть даны два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \), у которых \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k \).

Цель: доказать, что \( \triangle ABC \thicksim \triangle A'B'C' \), то есть \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k \) и \( \triangle ABC \thicksim \triangle A'B'C' \) (соответствующие углы равны).

Доказательство:

1. Отложим на стороне \( AB \) отрезок \( AB_1 \) так, чтобы \( AB_1 = k \times A'B' \).
2. Через точку \( B_1 \) проведём прямую, параллельную стороне \( AC \), которая пересечёт сторону \( BC \) в точке \( C_1 \).
3. По теореме о подобных треугольниках (из подобия \( \triangle BB_1C_1 \thicksim \triangle BAC \)), имеем: \( \frac{BB_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{B_1C_1}{AC} \).
4. Из построения \( AB_1 = k \times A'B' \), а по условию \( AB = k \times A'B' \), значит \( AB_1 = AB \) (опечатка в условии, должно быть AB_1 = k * A'B').
5. Из подобия \( \triangle BB_1C_1 \thicksim \triangle BAC \), следует, что \( \frac{AB_1}{AB} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{B_1C_1}{AC} \).
6. Поскольку \( AB_1 = k \times A'B' \) и \( AB = k \times A'B' \), то \( \frac{AB_1}{AB} = \frac{k \times A'B'}{k \times A'B'} = 1 \).
7. Тогда \( \frac{BC_1}{BC} = 1 \) и \( \frac{B_1C_1}{AC} = 1 \).
8. Отсюда \( BC_1 = BC \) и \( B_1C_1 = AC \).
9. Рассмотрим \( \triangle AB_1C_1 \) и \( \triangle A'B'C' \).
10. У них \( AB_1 = A'B' \) (по построению), \( B_1C_1 = A'C' \) (т.к. \( B_1C_1 = AC \), а \( AC=k \times A'C' \) из условия), \( \triangle ABC \thicksim \triangle A'B'C' \).
11. У них \( \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k \) (по условию).
12. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle AB_1C_1 \).
13. По построению \( \frac{AB_1}{AB} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{B_1C_1}{AC} \).
14. Из параллельности \( B_1C_1 \nparallel AC \) следует, что \( \frac{BB_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC} \).
15. Из подобия \( \triangle BB_1C_1 \thicksim \triangle BAC \), углы \( \triangle AB_1C_1 \) равны углам \( \triangle ABC \).
16. Следовательно, \( \triangle AB_1C_1 \) подобен \( \triangle A'B'C' \) по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны и угол между ними равен).
17. Таким образом, \( \triangle ABC \thicksim \triangle A'B'C' \).