1. Определи, компланарны ли данные три вектора? \(\overrightarrow{BA_1};\ \overrightarrow{DC_1};\ \overrightarrow{A_1C_1}\).

Обозначим рёбра параллелепипеда, выходящие из точки A, векторами \(\vec u=\overrightarrow{AD}\), \(\vec v=\overrightarrow{AB}\), \(\vec w=\overrightarrow{AA_1}\). Эти три вектора некомпланарны.

Тогда \(\overrightarrow{BA_1}=\vec w-\vec v\), \(\overrightarrow{DC_1}=\vec v+\vec w\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=\vec u+\vec v\).

Коэффициенты этих векторов относительно \(\vec u,\vec v,\vec w\) дают определитель \(\begin{vmatrix}0&0&1\\-1&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=-2\ne0\). Значит, векторы линейно независимы и не лежат в одной плоскости.

Ответ: нет, данные векторы не компланарны.