1. Определи, сколько решений имеет каждая из систем, не находя корни уравнений. Поясни свои выводы. Реши графическим способом только системы, имеющие одно решение (единственную пару корней).

Задание 1. Определение количества решений систем уравнений

Чтобы определить количество решений системы уравнений, не находя их, мы можем проанализировать коэффициенты при переменных. Системы вида: \( \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \)

Имеют:

• Одно решение, если \( \frac{a_1}{a_2}
  eq \frac{b_1}{b_2} \).
• Нет решений, если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}
  eq \frac{c_1}{c_2} \).
• Бесконечно много решений, если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).

Теперь применим это к предложенным системам:

Система a)

\( \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 4x - 7 = 8y + 13 \end{cases} \)

Приведём второе уравнение к стандартному виду: \( 4x - 8y = 20 \).

Сравниваем коэффициенты:

• \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{4} \)
• \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \)
• \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)

Так как \( \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \), эта система имеет бесконечно много решений.

Система б)

\( \begin{cases} 2x + y = 15 \\ 2y + x = 12 \end{cases} \)

Приведём второе уравнение к стандартному виду: \( x + 2y = 12 \).

Сравниваем коэффициенты:

• \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2 \)
• \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \)

Так как \( 2
eq \frac{1}{2} \), эта система имеет одно решение.

Система в)

\( \begin{cases} 2x + y = 15 \\ 2y + 4x = 12 \end{cases} \)

Приведём второе уравнение к стандартному виду: \( 4x + 2y = 12 \).

Сравниваем коэффициенты:

• \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \)

Так как \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
eq \frac{5}{4} \), эта система имеет нет решений.

Решение графическим способом системы б)

Система б) имеет одно решение, поэтому решим её графически.

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 15 - 2x \). Это прямая.

Из второго уравнения выразим \( y \): \( 2y = 12 - x \), \( y = 6 - \frac{1}{2}x \). Это тоже прямая.

Графики пересекаются в точке, где \( x = 6 \) и \( y = 3 \).

Проверка:

• Первое уравнение: \( 2(6) + 3 = 12 + 3 = 15 \) (Верно).
• Второе уравнение: \( 6 + 2(3) = 6 + 6 = 12 \) (Верно).

Ответ: Система а) имеет бесконечно много решений. Система б) имеет одно решение. Система в) не имеет решений. Графическое решение системы б) даёт точку пересечения (6; 3).