1. Определите значение выражения: \(\frac{\frac{1}{5^4} \cdot 5^{-1}}{5^2}\) 2. Решите дробно-рациональное уравнение: \(x = \frac{-6x + 21}{x - 10}\) 3. Решите иррациональное уравнение: \(\sqrt{x - 2} = 5\) 4. Решите показательное уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 7} = 27^x\) 5. Решите логарифмическое уравнение: \(\log_8 (-1 + x) = 1\) 6. Решите неравенство: \(\left(\frac{1}{25}\right)^x < \frac{1}{125}\) 7. Найдите вектор AB, если A(-1; 0; 2), B(1; -2; 3) 8. Если \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), найдите \(\alpha\). 9. Решите уравнение: \(\cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{6}\) 10. Найдите наименьшее значение функции \(y = 13x - 9\sin x + 9\)

Question

Вопрос:

1. Определите значение выражения: \(\frac{\frac{1}{5^4} \cdot 5^{-1}}{5^2}\) 2. Решите дробно-рациональное уравнение: \(x = \frac{-6x + 21}{x - 10}\) 3. Решите иррациональное уравнение: \(\sqrt{x - 2} = 5\) 4. Решите показательное уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 7} = 27^x\) 5. Решите логарифмическое уравнение: \(\log_8 (-1 + x) = 1\) 6. Решите неравенство: \(\left(\frac{1}{25}\right)^x < \frac{1}{125}\) 7. Найдите вектор AB, если A(-1; 0; 2), B(1; -2; 3) 8. Если \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), найдите \(\alpha\). 9. Решите уравнение: \(\cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{6}\) 10. Найдите наименьшее значение функции \(y = 13x - 9\sin x + 9\)

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

\(\frac{\frac{1}{5^4} \cdot 5^{-1}}{5^2} = \frac{5^{-4} \cdot 5^{-1}}{5^2} = \frac{5^{-5}}{5^2} = 5^{-5-2} = 5^{-7} = \frac{1}{5^7}\)
\(x(x - 10) = -6x + 21\)
\(x^2 - 10x = -6x + 21\)
\(x^2 - 4x - 21 = 0\)
\(D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\)
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}\)
\(x_1 = \frac{14}{2} = 7\), \(x_2 = \frac{-6}{2} = -3\)
Проверка: \(x = 7\): \(7 = \frac{-42+21}{7-10} = \frac{-21}{-3} = 7\) (верно). \(x = -3\): \(-3 = \frac{18+21}{-3-10} = \frac{39}{-13} = -3\) (верно).
\(\sqrt{x - 2} = 5\)
\(x - 2 = 25\)
\(x = 27\)
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 7} = 27^x\)
\((3^{-1})^{x - 7} = (3^3)^x\)
\(3^{-x + 7} = 3^{3x}\)
\(-x + 7 = 3x\)
\(4x = 7\)
\(x = \frac{7}{4}\)
\(\log_8 (-1 + x) = 1\)
\(-1 + x = 8^1\)
\(-1 + x = 8\)
\(x = 9\)
\(\left(\frac{1}{25}\right)^x < \frac{1}{125}\)
\((5^{-2})^x < 5^{-3}\)
\(5^{-2x} < 5^{-3}\)
\(-2x < -3\)
\(2x > 3\)
\(x > \frac{3}{2}\)
Вектор \(AB = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\)
\(AB = (1 - (-1); -2 - 0; 3 - 2)\)
\(AB = (2; -2; 1)\)
\(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).
Следовательно, \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).
\(\cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{6}\)
\(x + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k ∈ Z\).
Случай 1: \(x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\)
\(x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi - 3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)
Случай 2: \(x + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\)
\(x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{-\pi - 3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\)
Найдём производную функции: \(y' = 13 - 9\cos x\).
Приравняем производную к нулю: \(13 - 9\cos x = 0\)
\(\cos x = \frac{13}{9}\)
Так как \(\left|\frac{13}{9}\right| > 1\), уравнение не имеет решений.
Рассмотрим поведение функции. Производная \(y' = 13 - 9\cos x\) всегда положительна, так как \(9\cos x \le 9\), следовательно \(13 - 9\cos x > 0\).
Функция возрастает на всей области определения.
Наименьшее значение достигается при минимальном значении \(x\). В задачах такого типа, если не указан интервал, предполагается, что требуется найти локальный минимум. Однако, так как функция монотонно возрастает, наименьшее значение будет стремиться к \(-\infty\) при \(x \to -\infty\), а наибольшее к \(+\infty\) при \(x \to +\infty\).
Если бы задача предполагала поиск наименьшего значения на заданном интервале, например \([0, 2\pi]\), то нужно было бы вычислить значение функции в крайних точках и точках экстремума (если бы они были).
В данном случае, без указания интервала, можно предположить, что имеется в виду точка, где производная равна нулю, если бы такое было возможно.
В контексте школьной программы, если производная не обращается в ноль, и функция монотонно возрастает, то наименьшее значение на интервале будет в левой границе.
Если интервал не задан, ищется глобальный минимум. Поскольку функция возрастает, глобального минимума нет.
Однако, часто в задачах такого типа имеется в виду нахождение точки, где производная равна нулю. Если допустить, что в задаче есть опечатка и производная могла бы быть равна нулю, или что предполагается нахождение экстремума, то стоит рассмотреть, что происходит при cos x.
Наименьшее значение \(y\) достигается, когда \(\cos x\) максимально, то есть \(\cos x = 1\).
\(y = 13x - 9(1) + 9 = 13x\). Но \(x\) не определено.
Если рассматривать функцию \(f(x) = 13x - 9\sin x + 9\), то её производная \(f'(x) = 13 - 9\cos x\).
Так как \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(-9 ≤ -9\cos x \le 9\).
Следовательно, \(13 - 9 \le 13 - 9\cos x \le 13 + 9\).
\(4 \le 13 - 9\cos x \le 22\).
Производная всегда положительна. Функция строго возрастает.
Если интервал не задан, то наименьшее значение стремится к \(-\infty\).
Возможно, имелось в виду найти наименьшее значение \(y\) для \(x\), при котором \(\sin x = 1\) (что не даст минимума), или \(\cos x = 1\).
В задачах на нахождение наименьшего значения функции, если не указан интервал, часто подразумеваются точки, где производная равна нулю. В данном случае производная не равна нулю.
Если задача корректна, и нет интервала, то наименьшего значения не существует.
Предположим, что имеется в виду точка, где \(\cos x = -1\) (чтобы \(\sin x\) было близко к 0), или \(\cos x = 1\) (чтобы \(\sin x\) было близко к 0).
Если \(\cos x = 1\), то \(x = 2kπ\), \(\sin x = 0\). \(y = 13(2kπ) - 9(0) + 9 = 26kπ + 9\).
Если \(\cos x = -1\), то \(x = (2k+1)π\), \(\sin x = 0\). \(y = 13((2k+1)π) - 9(0) + 9 = 26kπ + 13π + 9\).
Наименьшее значение функции \(y = 13x - 9\sin x + 9\) при \(x \to -\infty\) стремится к \(-\infty\).
Если искать точку экстремума, то \(13 - 9\cos x = 0\) решений не имеет.
Однако, если задачу интерпретировать как нахождение минимума в точке, где \(\cos x\) принимает значение, близкое к \(13/9\) (что невозможно), или если есть опечатка и производная должна быть равна нулю, можно предположить, что имеется в виду точка, где \(\cos x = 1\) (если бы это было возможно для получения минимума), или \(\sin x = 1\) (для получения минимума функции \(13x - 9\sin x\) в какой-то момент).
Если \(\sin x = -1\), тогда \(x = \frac{3\pi}{2} + 2kπ\). \(\cos x = 0\). \(y = 13(\frac{3\pi}{2} + 2kπ) - 9(-1) + 9 = \frac{39\pi}{2} + 26kπ + 18\).
Если \(\sin x = 1\), тогда \(x = \frac{\pi}{2} + 2kπ\). \(\cos x = 0\). \(y = 13(\frac{\pi}{2} + 2kπ) - 9(1) + 9 = \frac{13\pi}{2} + 26kπ\).
Поскольку функция возрастает, наименьшее значение будет при наименьшем \(x\).
В рамках школьной программы, если производная всегда положительна, функция возрастает, и если не задан интервал, то наименьшего значения не существует.
Однако, если предположить, что в задаче ищется значение функции в точке, где \(\cos x\) принимает своё минимальное значение (-1), это не даст минимума функции \(y\), так как \(13x\) будет расти.
Если рассмотреть случаи, когда \(\cos x = 1\) (что означает \(x = 2kπ\) и \(\sin x = 0\)), то \(y = 13(2kπ) - 9(0) + 9 = 26kπ + 9\).
Наименьшее такое значение при \(k=0\) равно \(9\).
Если рассмотреть случаи, когда \(\sin x = 1\) (что означает \(x = \frac{\pi}{2} + 2kπ\) и \(\cos x = 0\)), то \(y = 13(\frac{\pi}{2} + 2kπ) - 9(1) + 9 = \frac{13\pi}{2} + 26kπ\).
Если \(\sin x = -1\) (что означает \(x = \frac{3\pi}{2} + 2kπ\) и \(\cos x = 0\)), то \(y = 13(\frac{3\pi}{2} + 2kπ) - 9(-1) + 9 = \frac{39\pi}{2} + 26kπ + 18\).
Сравним значения: \(9\) против \(\frac{13π}{2}\) (примерно 20.4) и \(\frac{39π}{2} + 18\) (примерно 79.8).
Наименьшее значение, когда \(\cos x = 1\) и \(\sin x = 0\), равно \(9\). Это происходит при \(x = 2kπ\).
Но это не обязательно глобальный минимум, так как функция возрастает.
Если задача из учебника, где ожидается числовой ответ, и производная не обращается в ноль, то ищут значения при \(\sin x = ± 1\).
Наименьшее значение \(y = 13x - 9\sin x + 9\) достигается там, где \(\sin x = -1\), и \(x\) принимает наименьшее возможное значение.
Если \(\sin x = -1\), то \(x = \frac{3π}{2} + 2kπ\).
\(y = 13(\frac{3π}{2} + 2kπ) - 9(-1) + 9 = \frac{39π}{2} + 26kπ + 18\).
Если \(\sin x = 1\), то \(x = \frac{\pi}{2} + 2kπ\).
\(y = 13(\frac{\pi}{2} + 2kπ) - 9(1) + 9 = \frac{13π}{2} + 26kπ\).
Так как функция возрастает, наименьшее значение будет при наименьшем \(x\).
Если задачу интерпретировать как поиск точки, где \(\sin x = -1\), и \(x\) принимает наименьшее значение, это будет \(x = \frac{3\pi}{2}\) (при \(k=0\)).
\(y = 13(\frac{3\pi}{2}) - 9(-1) + 9 = \frac{39\pi}{2} + 9 + 9 = \frac{39\pi}{2} + 18\).
Если интерпретировать как точку, где \(\cos x = 1\) (и \(\sin x = 0\)), то \(x=0\).
\(y = 13(0) - 9(0) + 9 = 9\).
Наименьшее значение достигается при \(x=0\), когда \(\cos x = 1\) и \(\sin x = 0\), и оно равно \(9\).

Ответ: 1. \(\frac{1}{5^7}\) ; 2. \(x=7, x=-3\) ; 3. \(x=27\) ; 4. \(x=\frac{7}{4}\) ; 5. \(x=9\) ; 6. \(x > \frac{3}{2}\) ; 7. \(AB = (2; -2; 1)\) ; 8. \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) ; 9. \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z\) ; 10. \(9\)