1 Осевое сечение цилиндра-квадрат, диагональ 4 см. Найти - ? 2. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти: а) Seer конуса плоскостью проходящей через две образующие, угол между которыми 60°. б) Поле конуса 3. Диаметр шара 12 см. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

Решение:

• Задача 1: Осевое сечение цилиндра - квадрат. Диагональ квадрата равна 4 см.
• Сторона квадрата (а) = Диагональ / √2 = 4 см / √2 = 2√2 см.
• Радиус основания цилиндра (r) = Сторона / 2 = 2√2 см / 2 = √2 см.
• Высота цилиндра (h) = Сторона = 2√2 см.
• Задача 2:
• а) Сечение конуса:
• Угол между образующими в сечении - 60°. Это означает, что боковая поверхность конуса как бы «развернута» в плоскости.
• Рассмотрим треугольник, образованный двумя образующими и хордой основания. Так как угол между образующими 60°, а образующие равны, то это равносторонний треугольник.
• Сторона этого треугольника равна образующей (l) конуса.
• Радиус основания конуса (R) дан.
• В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания (R), высотой (h) и образующей (l):
• l = R / cos(30°) = R / (√3/2) = 2R/√3.
• Сторона равностороннего треугольника сечения равна l = 2R/√3.
• Площадь сечения (S_сеч) = (√3/4) * l² = (√3/4) * (2R/√3)² = (√3/4) * (4R²/3) = R²√3/3.
• б) Площадь боковой поверхности конуса (S_бок):
• S_бок = πRl = πR * (2R/√3) = 2πR²/√3.
• Задача 3:
• Диаметр шара = 12 см, значит радиус шара (R_ш) = 6 см.
• Плоскость проведена под углом 30° к диаметру. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости (d) равно:
• d = R_ш * sin(30°) = 6 см * 1/2 = 3 см.
• Площадь сечения шара (S_сеч) — это круг. Радиус этого круга (r_сеч) найдем из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — радиус шара (R_ш), а катеты — расстояние от центра до плоскости (d) и радиус сечения (r_сеч).
• r_сеч² = R_ш² - d² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27.
• r_сеч = √27 = 3√3 см.
• Площадь сечения (S_сеч) = π * r_сеч² = π * 27 = 27π см².

Ответ:

• Задача 1: Радиус основания цилиндра = √2 см, высота цилиндра = 2√2 см.
• Задача 2: а) Площадь сечения конуса = R²√3/3. б) Площадь боковой поверхности конуса = 2πR²/√3.
• Задача 3: Площадь сечения шара = 27π см².