1) Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти боковые ребра пирамиды, площадь полной ее поверхности.

Дано:

• Прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см.
• Высота пирамиды (H) = 12 см.
• Высота проходит через точку пересечения диагоналей основания.

Найти:

• Боковые ребра (l)
• Площадь полной поверхности (S_полн)

Решение:

1. Находим диагональ основания (d):
   Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$
   \[ d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
2. Находим расстояние от центра до стороны основания:
   Так как высота проходит через точку пересечения диагоналей, то основание пирамиды является центром. Расстояние от центра до сторон прямоугольника равно половине другой стороны.
   $$r_a = \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$
   $$r_b = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$
3. Находим боковое ребро (l):
   Боковое ребро является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где один катет - высота пирамиды (H), а другой - половина диагонали основания (d/2), или расстояние от центра до вершины основания. Однако, поскольку основание прямоугольное, боковые ребра будут разными. Мы можем найти их, используя высоту и расстояние от центра до соответствующей стороны основания.
4. Находим апофемы боковых граней:
   Апофема грани, основанием которой является сторона 6 см ($$h_a$$):
   \[ h_a = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{12^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17} \text{ см} \]Апофема грани, основанием которой является сторона 8 см ($$h_b$$):
   \[ h_b = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \text{ см} \]
5. Находим площадь боковой поверхности (S_бок):
   $$S_{бок} = 2 \cdot \frac{1}{2} r a r h_a + 2 r \frac{1}{2} r b r h_b$$
   $$S_{бок} = a r h_a + b r h_b$$
   \[ S_{бок} = 6 r 3\sqrt{17} + 8 r 4\sqrt{10} = 18\sqrt{17} + 32\sqrt{10} \text{ см}^2 \]
6. Находим площадь основания (S_осн):
   \[ S_{осн} = a \cdot b = 6 r 8 = 48 \text{ см}^2 \]
7. Находим площадь полной поверхности (S_полн):
   $$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$$
   \[ S_{полн} = (18\sqrt{17} + 32\sqrt{10}) + 48 \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Боковые ребра: В данной постановке задачи (высота проходит через центр пересечения диагоналей) все боковые ребра равны. Найдем половину диагонали основания: $$d/2 = 10/2 = 5$$ см. Боковое ребро $$l = \sqrt{H^2 + (d/2)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ см.
• Площадь полной поверхности: $$48 + 18\sqrt{17} + 32\sqrt{10}$$ см².