1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы.

Задание 1. Прямоугольная призма

Дано:

• Основание призмы — прямоугольный треугольник.
• Гипотенуза треугольника: \( c = 25 \) см.
• Катет треугольника: \( a = 20 \) см.
• Меньшая боковая грань равновеликая основанию.

Найти: площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) и площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдем второй катет \( b \) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
   \[ 25^2 = 20^2 + b^2 \]
   \[ 625 = 400 + b^2 \]
   \[ b^2 = 625 - 400 = 225 \]
   \[ b = \sqrt{225} = 15 \] см.
2. Найдем меньший катет: \( b = 15 \) см.
3. Площадь основания призмы \( S_{осн} \) равна площади прямоугольного треугольника:
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \] см².
4. Так как меньшая боковая грань равновелика основанию, то площадь меньшей боковой грани \( S_{меньш.гр.} = 150 \) см².
5. Сторона основания, к которой относится эта грань, — это меньший катет \( b = 15 \) см.
6. Высота призмы \( H \) равна стороне основания, к которой относится меньшая боковая грань (так как она равновелика основанию, то ее площадь равна произведению стороны основания на высоту призмы).
7. Площадь меньшей боковой грани: \( S_{меньш.гр.} = b \cdot H \)
   \[ 150 = 15 \cdot H \]
   \[ H = \frac{150}{15} = 10 \] см.
8. Периметр основания призмы \( P_{осн} \):
   \[ P_{осн} = a + b + c = 20 + 15 + 25 = 60 \] см.
9. Площадь боковой поверхности призмы:
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 60 \cdot 10 = 600 \] см².
10. Площадь полной поверхности призмы:
    \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 600 + 2 \cdot 150 = 600 + 300 = 900 \] см².

Ответ: площадь боковой поверхности 600 см², площадь полной поверхности 900 см².

}, {