1. Основание прямой треугольной призмы – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 10 см. Высота призмы равна 8 см. Найдите объём призмы. 2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°. 3. Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 8 см, а высота – 9 см. 4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при основании и радиусом вписанной окружности г. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом В. Найдите объём пирамиды. 5. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите объём пирамиды, если её высота равна һ.

Задание 1. Объём прямой треугольной призмы

Дано:

• Катеты прямоугольного треугольника основания: \( a = 3 \) см, \( b = 10 \) см.
• Высота призмы: \( H = 8 \) см.

Найти: Объём призмы \( V \).

Решение:

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника) найдём по формуле: \[ S_{осн} = \frac{1}{2}ab \]
2. Подставим значения: \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10 = 15 \] см².
3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S_{осн} \cdot H \]
4. Подставим значения: \[ V = 15 \cdot 8 = 120 \] см³.

Ответ: Объём призмы равен 120 см³.

Задание 2. Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Дано:

• Боковое ребро пирамиды: \( l = 12 \) см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания: \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти: Объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Объём пирамиды находится по формуле: \[ V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H \].
2. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Пусть сторона основания равна \( a \).
3. Чтобы найти высоту \( H \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), высотой \( H \) и половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \).
4. Диагональ квадрата: \( d = a\sqrt{2} \). Тогда \( \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
5. В прямоугольном треугольнике: \[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{d}{2}}{l} \]
6. \( \cos(45^{\circ}) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{12} \)
7. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{24} \)
8. \( a = 12 \) см.
9. Площадь основания: \[ S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \] см².
10. Высота пирамиды: \[ H = l \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(45^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \] см.
11. Объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2} = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} \] см³.

Ответ: Объём пирамиды равен \( 288\sqrt{2} \) см³.

Задание 3. Объём правильной усечённой треугольной пирамиды

Дано:

• Стороны оснований: \( a_1 = 6 \) см, \( a_2 = 8 \) см.
• Высота усечённой пирамиды: \( H = 9 \) см.

Найти: Объём усечённой пирамиды \( V \).

Решение:

1. Формула объёма усечённой пирамиды: \[ V = \frac{1}{3}H(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) \].
2. Основания — правильные треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \): \[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \].
3. Площадь нижнего основания: \[ S_1 = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \] см².
4. Площадь верхнего основания: \[ S_2 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \] см².
5. Подставим значения в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left( 16\sqrt{3} + \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} + 9\sqrt{3} \right) \]
6. \( V = 3 \left( 16\sqrt{3} + \sqrt{144 \cdot 3} + 9\sqrt{3} \right) \)
7. \( V = 3 \left( 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 9\sqrt{3} \right) \)
8. \( V = 3 \cdot (37\sqrt{3}) = 111\sqrt{3} \) см³.

Ответ: Объём усечённой пирамиды равен \( 111\sqrt{3} \) см³.

Задание 4. Объём пирамиды с равнобедренным основанием

Дано:

• Основание — равнобедренный треугольник с углом \( \alpha \) при основании.
• Радиус вписанной окружности: \( r \).
• Две боковые грани перпендикулярны основанию.
• Третья грань наклонена под углом \( \beta \) к основанию.

Найти: Объём пирамиды \( V \).

Решение:

Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H \).

1. Так как две боковые грани перпендикулярны основанию, высота пирамиды \( H \) совпадает с высотой одной из сторон основания, которая проведена к основанию, равному \( a \).
2. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании. Пусть боковая сторона равна \( c \). Угол при основании \( \alpha \).
3. Высота \( h_a \) к основанию \( a \) в основании: \( h_a = c \cdot \sin(\alpha) \).
4. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2}a \cdot h_a = \frac{1}{2}a c \sin(\alpha) \).
5. Также площадь основания через радиус вписанной окружности: \( S_{осн} = p \cdot r \), где \( p = \frac{a + 2c}{2} \) — полупериметр.
6. Высота пирамиды \( H \) — это высота боковой грани, наклоненной под углом \( \beta \) к основанию.
7. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( H \), апофемой \( h_a \) (высота боковой грани, наклоненной под углом \( \beta \)), имеем: \[ \tan(\beta) = \frac{H}{h_a} \]
8. \( H = h_a \cdot \tan(\beta) = c \sin(\alpha) \tan(\beta) \).
9. Объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}ac \sin(\alpha) \right) \cdot \left( c \sin(\alpha) \tan(\beta) \right) = \frac{1}{6} a c^2 \sin^2(\alpha) \tan(\beta) \].
10. Если использовать \( S_{осн} = pr \), то: \( V = \frac{1}{3} p r H \).

Примечание: Для полного решения задачи необходимо найти зависимость между \( a, c, r \) и \( \alpha \).

Ответ: Объём пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды. Конкретные значения зависят от соотношений в основании.

Задание 5. Объём правильной треугольной пирамиды

Дано:

• Высота пирамиды: \( h \).
• Плоский угол при вершине: \( \alpha \).

Найти: Объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \).
2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоский угол при вершине \( \alpha \) — это угол между двумя равными боковыми ребрами \( b \) в боковой грани.
3. Рассмотрим боковую грань. По теореме косинусов для боковой грани: \( a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos(\alpha) = 2b^2(1 - \cos(\alpha)) \), где \( a \) — сторона основания.
4. \( a = b \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))} = b \sqrt{4\sin^2(\alpha/2)} = 2b \sin(\alpha/2) \).
5. Высота пирамиды \( h \) связана с боковым ребром \( b \) и углом наклона боковой грани к основанию.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), апофемой \( h_{a} \) (высота боковой грани), и радиусом вписанной окружности в основание \( r_{осн} \).
7. \( h = h_a \tan(\beta) \) (где \( \beta \) — угол наклона боковой грани).
8. Для правильного треугольника в основании: \( r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) и \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
9. Высота боковой грани \( h_a = b \cos(\alpha/2) \).
10. \( r_{осн} = \frac{2b \sin(\alpha/2)}{2\sqrt{3}} = \frac{b \sin(\alpha/2)}{\sqrt{3}} \).
11. \( h = \sqrt{b^2 - r_{осн}^2} \) (это неверно, \( h \) не связано напрямую с \( b \) и \( r_{осн} \) таким образом).
12. Правильная связь: \( b^2 = h^2 + R_{осн}^2 \), где \( R_{осн} \) — радиус описанной окружности основания. \( R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
13. \( b^2 = h^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 \)
14. \( a = 2b \sin(\alpha/2) \)
15. \( b^2 = h^2 + \frac{(2b \sin(\alpha/2))^2}{3} = h^2 + \frac{4b^2 \sin^2(\alpha/2)}{3} \)
16. \( b^2 \left( 1 - \frac{4 \sin^2(\alpha/2)}{3} \right) = h^2 \)
17. \( b^2 \left( \frac{3 - 4 \sin^2(\alpha/2)}{3} \right) = h^2 \)
18. \( b^2 = \frac{3h^2}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \)
19. \( a^2 = 4b^2 \sin^2(\alpha/2) = 4 \cdot \frac{3h^2}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \sin^2(\alpha/2) = \frac{12h^2 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \)
20. \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{12h^2 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} = \frac{3\sqrt{3}h^2 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \)
21. \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}h^2 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \cdot h = \frac{\sqrt{3}h^3 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \).

Ответ: Объём пирамиды равен \( V = \frac{\sqrt{3}h^3 \sin^2(\alpha/2)}{3 - 4\sin^2(\alpha/2)} \).