1. Острый угол прямоугольного треугольника равен α. Найдите его площадь, если гипотенуза этого треугольника равна 1.

Обозначим катеты через a и b. Один катет равен \(\sin\alpha\), другой — \(\cos\alpha\), поскольку гипотенуза равна 1.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\(S=\frac12 ab=\frac12\sin\alpha\cos\alpha=\frac14\sin 2\alpha.\)

Ответ: \(\frac14\sin 2\alpha\).