1. Отметьте на координатной плоскости точки А (5; 2), В (2; 1), С (-3; 4) и D (-2; 2). Проведите луч АВ и прямую СD. Найдите координаты точки пересечения луча АВ и прямой CD.

Решение:

1. Построение точек: На координатной плоскости отмечаем точки А(5; 2), В(2; 1), С(-3; 4), D(-2; 2).
2. Проведение луча и прямой: Строим луч, исходящий из точки А и проходящий через точку В. Строим прямую, проходящую через точки С и D.
3. Нахождение точки пересечения:
• Уравнение прямой AB: Угловой коэффициент $$k_{AB} = \frac{1-2}{2-5} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$$. Уравнение прямой: $$y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2) \implies 3y - 3 = x - 2 \implies x - 3y + 1 = 0$$.
• Уравнение прямой CD: Угловой коэффициент $$k_{CD} = \frac{2-4}{-2-(-3)} = \frac{-2}{1} = -2$$. Уравнение прямой: $$y - 2 = -2(x - (-2)) \implies y - 2 = -2(x + 2) \implies y - 2 = -2x - 4 \implies 2x + y + 2 = 0$$.
• Система уравнений: $$\begin{cases} x - 3y + 1 = 0 \\ 2x + y + 2 = 0 \end{cases}$$. Из второго уравнения выразим $$y = -2x - 2$$. Подставим в первое: $$x - 3(-2x - 2) + 1 = 0 \implies x + 6x + 6 + 1 = 0 \implies 7x = -7 \implies x = -1$$. Тогда $$y = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0$$.

Ответ: Координаты точки пересечения луча АВ и прямой CD равны (-1; 0).