№ 1. Отметьте на координатной плоскости точки (единичный отрезок - 1 клетка) A(4; 7), B( - 8; 9), C( -12; -1 ), Д( 2; - 6 ). Проведите прямые АС и ВД. Найдите координаты точек пересечения: а) прямых АС и ВД; б) прямой АС с осью абсцисс; в) прямой ВД с осью ординат.

Решение:

Для решения этой задачи нам потребуется найти уравнения прямых AC и BD, а затем решить системы уравнений для нахождения точек пересечения.

1. Уравнение прямой AC:

Координаты точек: \( A(4; 7) \) и \( C(-12; -1) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек:

\( 7 = 4k + b \)

\( -1 = -12k + b \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 7 - (-1) = (4k - (-12k)) + (b - b) \)

\( 8 = 16k \)

\( k = \frac{8}{16} = 0.5 \)

Подставим \( k \) в первое уравнение:

\( 7 = 4(0.5) + b \)

\( 7 = 2 + b \)

\( b = 5 \)

Уравнение прямой AC: \( y = 0.5x + 5 \).

2. Уравнение прямой BD:

Координаты точек: \( B(-8; 9) \) и \( Д(2; -6) \).

Подставим координаты точек:

\( 9 = -8k + b \)

\( -6 = 2k + b \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 9 - (-6) = (-8k - 2k) + (b - b) \)

\( 15 = -10k \)

\( k = \frac{15}{-10} = -1.5 \)

Подставим \( k \) во второе уравнение:

\( -6 = 2(-1.5) + b \)

\( -6 = -3 + b \)

\( b = -3 \)

Уравнение прямой BD: \( y = -1.5x - 3 \).

3. Координаты точек пересечения:

а) пересечение прямых AC и ВД:

Приравняем уравнения прямых:

\( 0.5x + 5 = -1.5x - 3 \)

\( 0.5x + 1.5x = -3 - 5 \)

\( 2x = -8 \)

\( x = -4 \)

Подставим \( x \) в уравнение прямой AC:

\( y = 0.5(-4) + 5 = -2 + 5 = 3 \)

Точка пересечения прямых AC и BD: \( (-4; 3) \).

б) пересечение прямой АС с осью абсцисс (осью X):

На оси абсцисс \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой AC:

\( 0 = 0.5x + 5 \)

\( -0.5x = 5 \)

\( x = \frac{5}{-0.5} = -10 \)

Точка пересечения прямой AC с осью абсцисс: \( (-10; 0) \).

в) пересечение прямой ВД с осью ординат (осью Y):

На оси ординат \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой BD:

\( y = -1.5(0) - 3 \)

\( y = -3 \)

Точка пересечения прямой BD с осью ординат: \( (0; -3) \).

Ответ: а) прямые АС и ВД пересекаются в точке \( (-4; 3) \); б) прямая АС пересекает ось абсцисс в точке \( (-10; 0) \); в) прямая ВД пересекает ось ординат в точке \( (0; -3) \).