Для определения, где нужна запятая, нужно найти обособленные обстоятельства, выраженные деепричастными оборотами или одиночными деепричастиями.
а) Мы увидели, как пёс мчится, высунув язык. - Запятая нужна, так как 'высунув язык' – деепричастный оборот.
б) В гостиной раскрылись двери, и теснясь к стене, вошли деревенские девочки и мальчики. - Запятая нужна, так как 'теснясь к стене' – деепричастный оборот.
в) Никита постоял, задумавшись, затем быстро вышел из комнаты. - Запятая нужна, так как 'задумавшись' – одиночное деепричастие.
г) После всего случившегося он провёл ночь не смыкая глаз. - Запятая не нужна, так как 'не смыкая' - фразеологизм.
д) Он пробирался к выходу, прислушиваясь к каждому шороху. - Запятая нужна, так как 'прислушиваясь к каждому шороху' – деепричастный оборот.
е) Я тебя предупреждала: нельзя работать спустя рукава. - Запятая не нужна, так как 'спустя рукава' – фразеологизм.
ж) Глядя на ночное небо, он мечтал о полёте к звёздам. - Запятая нужна, так как 'глядя на ночное небо' – деепричастный оборот.
з) Мальцев остановился и, нехотя, побрёл назад. - Запятые нужны, так как 'нехотя' - наречие, выделяется запятыми с обеих сторон
и) Волны, с шумом ударяясь о брёвна и разрезаясь на якорях и канатах, заливали доски. - Запятая нужна, так как 'с шумом ударяясь о брёвна и разрезаясь на якорях и канатах' - деепричастный оборот.
**Ответ:** Запятые необходимо поставить в предложениях а), б), в), д), ж), з), и).