1. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AC}$, $\vec b=\overrightarrow{AB}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$,…$ Фото задания

1. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AC}$, $\vec b=\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

Так как медианы делят противоположные стороны пополам, точки A₁, B₁, C₁ — середины BC, AC, AB соответственно.

Для медианы из A: $\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\vec b+\vec a)$.
Для медианы из B: $\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$. Здесь $\overrightarrow{BA}=-\vec b$, а $\overrightarrow{BC}=\vec a-\vec b$, поэтому $\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}(\vec a-2\vec b)=\frac{1}{2}\vec a-\vec b$.
Для медианы из C: $\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$. Здесь $\overrightarrow{CA}=-\vec a$, а $\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec a$, поэтому $\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{2}(\vec b-2\vec a)=\frac{1}{2}\vec b-\vec a$.

Ответ: $\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{2}\vec b-\vec a$.

1. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{CC_1}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AC}\), \(\vec b=\overrightarrow{AB}\).

Ответ: