1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || QF.

Доказательство параллельности отрезков

Дано: Отрезки EF и PQ пересекаются в точке M, которая является серединой обоих отрезков. Это означает, что EM = MF и PM = MQ.

Доказать: PE || QF.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔPME и ΔQMF.
2. У нас есть следующие равенства:
   • PM = MQ (по условию, M — середина PQ).
   • EM = MF (по условию, M — середина EF).
   • ∠PME = ∠QMF (вертикальные углы).
3. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), мы можем заключить, что ΔPME = ΔQMF.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. Следовательно, PE = QF и ∠MPE = ∠MQF.
5. Углы ∠MPE и ∠MQF являются накрест лежащими углами при пересечении прямых PE и QF секущей PQ.
6. Поскольку накрест лежащие углы равны (∠MPE = ∠MQF), то прямые, образующие эти углы, параллельны.
7. Следовательно, PE || QF.

Вывод: Мы доказали, что отрезок PE параллелен отрезку QF, используя равенство треугольников и свойство накрест лежащих углов.