№ 1. Отрезки MK и PN пересекаются в точке O, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники MOP и NOK равны. б) Найдите углы M и P треугольника MOP, если в треугольнике NOK ∠N = 53°, ∠K = 38°.

Дано: отрезки MK и PN пересекаются в точке O; O — середина каждого отрезка; ∠N = 53°, ∠K = 38°.

Доказать: треугольники MOP и NOK равны.

Найти: ∠M и ∠P.

Решение:

1. Так как O — середина MK, то OM = OK.
2. Так как O — середина PN, то OP = ON.
3. Углы MOP и KON — вертикальные, поэтому ∠MOP = ∠KON.
4. Следовательно, треугольники MOP и NOK равны по двум сторонам и углу между ними. Соответствие вершин: M ↔ K, O ↔ O, P ↔ N.
5. Из равенства треугольников следует: ∠M = ∠K = 38°, ∠P = ∠N = 53°.

Рисунок:

Ответ: а) ΔMOP = ΔKON; б) ∠M = 38°, ∠P = 53°.