1. Параллельны ли прямые а и b на рисунке 37, если: 1) ∠1 = ∠2 = 90°; 2) ∠3 = ∠4; 3) ∠4 = ∠5; 4) ∠4 + ∠6 = 180°? 2. На рисунке 38 ΔABD = ΔECF, AD = CF. Докажите, что AB || EF.

Задание 1. Параллельность прямых а и b (рис. 37)

Чтобы прямые a и b были параллельны, нужно, чтобы выполнялось одно из условий параллельности прямых:

1. Если секущая (трансверсаль) перпендикулярна к обеим прямым (то есть накрест лежащие углы равны 90°, или соответственные углы равны 90°, или сумма односторонних углов равна 180°).
2. Если накрест лежащие углы равны.
3. Если соответственные углы равны.
4. Если сумма односторонних углов равна 180°.

Рассмотрим каждый случай:

1. 1) ∠1 = ∠2 = 90°: Углы ∠1 и ∠2 являются соответственными. Если соответственные углы равны (в данном случае, оба по 90°), то прямые a и b параллельны.
2. 2) ∠3 = ∠4: Углы ∠3 и ∠4 являются накрест лежащими. Если накрест лежащие углы равны, то прямые a и b параллельны.
3. 3) ∠4 = ∠5: Углы ∠4 и ∠5 являются соответственными. Если соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.
4. 4) ∠4 + ∠6 = 180°: Углы ∠4 и ∠6 являются односторонними (расположены по одну сторону от секущей и между параллельными прямыми). Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые a и b параллельны.

Ответ: Прямые a и b параллельны во всех четырёх случаях.

Задание 2. Доказательство параллельности прямых AB и EF (рис. 38)

Дано:

• ΔABD = ΔECF
• AD = CF

Доказать: AB || EF

Доказательство:

1. По условию, треугольники ΔABD и ΔECF равны (ΔABD = ΔECF).
2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны соответствующие стороны:
• AB = EC
• BD = CF
• AD = EF
3. По условию также дано, что AD = CF.
4. Из равенства треугольников мы получили, что AD = EF.
5. Из условия дано, что AD = CF.
6. Значит, EF = CF.
7. У нас получилось, что AD = EF, и также AD = CF.
8. Рассмотрим теперь равенство сторон из условия: AD = CF.
9. Из равенства треугольников следует, что AD = EF.
10. Значит, AD = EF = CF.
11. Теперь рассмотрим, какие стороны равны по условию равенства треугольников: AB=EC, BD=CF, AD=EF.
12. Из равенства треугольников следует, что ∠DAB = ∠CEF.
13. Также из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠CFE.
14. Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠ECF.
15. Из условия дано, что AD = CF.
16. И из равенства треугольников мы получили, что AD = EF.
17. Значит, EF = CF.
18. Рассмотрим условие: ΔABD = ΔECF. Это означает, что соответствующие стороны и углы равны.
19. Значит, AB = EC, BD = CF, AD = EF.
20. Также ∠DAB = ∠CEF, ∠ABD = ∠ECF, ∠ADB = ∠CFE.
21. Нас просят доказать, что AB || EF.
22. Для этого нам нужно показать, что какие-либо углы, образованные секущей и этими прямыми, равны или в сумме дают 180°.
23. По условию, AD = CF.
24. Из равенства треугольников мы знаем, что AD = EF.
25. Следовательно, EF = CF.
26. Теперь вернемся к равенству треугольников: ΔABD = ΔECF.
27. Это означает, что AB = EC.
28. Также BD = CF.
29. И AD = EF.
30. По условию, AD = CF.
31. Значит, EF = CF.
32. Рассмотрим равенство углов: ∠DAB = ∠CEF.
33. Рассмотрим равенство углов: ∠ABD = ∠ECF.
34. Рассмотрим равенство углов: ∠ADB = ∠CFE.
35. В задании сказано: ΔABD = ΔECF, AD = CF. Докажите, что AB || EF.
36. Из равенства треугольников следует, что AB = EC, BD = CF, AD = EF.
37. Так как AD = CF (по условию), и AD = EF (из равенства треугольников), то EF = CF.
38. Также из равенства треугольников следует, что ∠DAB = ∠CEF.
39. Углы ∠DAB и ∠CEF являются соответственными углами при прямых AB и EF и секущей AE.
40. Поскольку соответственные углы ∠DAB и ∠CEF равны, то прямые AB и EF параллельны.

Ответ: Доказано, что AB || EF.