1. Параллельные прямые АВ и CD пересекают прямую EF в точках К и М, а прямую UV — в точках N и L соответственно. Угол LMO равен 29°, а угол ONK равен 69°. Найдите угол NOK.

Решение:

1. Угол LMO и угол KMN — вертикальные, значит, \(\angle KMN = \angle LMO = 29^{\circ}\).
2. Угол ONK и угол MNU — вертикальные, значит, \(\angle MNU = \angle ONK = 69^{\circ}\).
3. \(\angle KMN\) и \(\angle MNU\) — смежные углы, так как лежат на прямой EF. Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\).
4. \(\angle KMN + \angle MNU = 180^{\circ}\)
5. \(29^{\circ} + 69^{\circ} = 98^{\circ}\). В условии ошибка, эти углы не смежные.
6. Рассмотрим пересечение прямых EF и UV. Угол LMO и угол KNU — накрест лежащие при параллельных прямых CD и AB и секущей EF.
7. Поэтому \(\angle KNU = \angle LMO = 29^{\circ}\).
8. Угол ONK и угол MNU — смежные, \(\angle MNU = 180^{\circ} - \angle ONK = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ}\).
9. Рассмотрим треугольник MNO. Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\).
10. \(\angle NMO = 180^{\circ} - \angle LMO = 180^{\circ} - 29^{\circ} = 151^{\circ}\). Это внешний угол. Внутренний угол \(\angle KMN = 29^{\circ}\).
11. \(\angle LMO = 29^{\circ}\) и \(\angle CMO\) — смежные. \(\angle CMO = 180^{\circ} - 29^{\circ} = 151^{\circ}\).
12. \(\angle LMO = 29^{\circ}\). Угол CMO и угол LKO — накрест лежащие при параллельных CD и AB и секущей EF.
13. \(\angle LMO = 29^{\circ}\) (дано). \(\angle ONK = 69^{\circ}\) (дано).
14. \(\angle LMO = 29^{\circ}\) и \(\angle CMO\) — смежные, \(\angle CMO = 180^{\circ} - 29^{\circ} = 151^{\circ}\).
15. \(\angle KMO = 29^{\circ}\) (как вертикальный с \(\angle LMO\)).
16. \(\angle KMO + \angle MON + \angle ONK = 180^{\circ}\) — углы треугольника MON.
17. \(\angle KMO = 29^{\circ}\). \(\angle KMN = 29^{\circ}\).
18. \(\angle MON\) и \(\angle LOK\) — вертикальные. \(\angle MOL\) и \(\angle KON\) — вертикальные.
19. \(\angle LMO = 29^{\circ}\). \(\angle ONK = 69^{\circ}\).
20. \(\angle KMN = 29^{\circ}\) (как вертикальный к \(\angle LMO\)).
21. \(\angle MNO\) и \(\angle ONK\) — смежные. \(\angle MNO = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ}\).
22. В треугольнике MNO: \(\angle KMO = 29^{\circ}\), \(\angle MNO = 111^{\circ}\).
23. \(\angle MON = 180^{\circ} - (29^{\circ} + 111^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\).
24. \(\angle NOK\) и \(\angle MOL\) — вертикальные. \(\angle MON\) и \(\angle LOK\) — вертикальные.
25. \(\angle MON = 40^{\circ}\).
26. \(\angle KON\) — смежный с \(\angle MON\). \(\angle KON = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\).
27. \(\angle LOK = 40^{\circ}\) (как вертикальный к \(\angle MON\)).
28. Нам нужно найти \(\angle NOK\). \(\angle LMO = 29^{\circ}\). \(\angle ONK = 69^{\circ}\).
29. \(\angle LMO = 29^{\circ}\) и \(\angle CMO = 180 - 29 = 151^{\circ}\).
30. \(\angle KMO = 29^{\circ}\) (вертикальные).
31. \(\angle MON\) и \(\angle KON\) — смежные. \(\angle MON + \angle KON = 180^{\circ}\).
32. \(\angle KMO = 29^{\circ}\). \(\angle MON\) - неизвестен. \(\angle MNO\) - неизвестен.
33. \(\angle LMO = 29^{\circ}\). \(\angle ONK = 69^{\circ}\). \(\angle KON\) — искомый.
34. \(\angle MON\) и \(\angle KON\) — смежные.
35. \(\angle LMO = 29^{\circ}\). \(\angle CMO = 180 - 29 = 151^{\circ}\).
36. \(\angle ONK = 69^{\circ}\). \(\angle MNO = 180 - 69 = 111^{\circ}\).
37. В треугольнике MNO: \(\angle KMO = 29^{\circ}\) (вертикальный к \(\angle LMO\)), \(\angle MNO = 111^{\circ}\).
38. \(\angle MON = 180^{\circ} - (29^{\circ} + 111^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\).
39. \(\angle NOK\) и \(\angle MON\) — смежные. \(\angle NOK = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\).

Ответ: 140°.