1. Параллельные прямые АВ и CD пересекаются с прямой EF в точках М и N соответственно. Угол AMN в три раза меньше угла CNM. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть \( \angle AMN = x \). Тогда \( \angle CNM = 3x \).

Так как прямые AB и CD параллельны, а EF — секущая, то углы \( \angle AMN \) и \( \angle CNM \) являются односторонними углами. Сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AMN + \angle CNM = 180^{\circ} \)

\( x + 3x = 180^{\circ} \)

\( 4x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)

Значит, \( \angle AMN = 45^{\circ} \) и \( \angle CNM = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \).

Теперь найдём остальные углы:

• \( \angle AMN = \angle BMD = 45^{\circ} \) (вертикальные углы).
• \( \angle CNM = \angle BNC = 135^{\circ} \) (вертикальные углы).
• \( \angle AMF = \angle EMD = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \) (развёрнутый угол).
• \( \angle CNF = \angle DNE = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \) (развёрнутый угол).

Ответ: \( \(\angle\) AMN = 45^{\(\circ\)}, \(\angle\) CNM = 135^{\(\circ\)}, \(\angle\) BMD = 45^{\(\circ\)}, \(\angle\) BNC = 135^{\(\circ\)}, \(\angle\) AMF = 135^{\(\circ\)}, \(\angle\) EMD = 135^{\(\circ\)}, \(\angle\) CNF = 45^{\(\circ\)}, \(\angle\) DNE = 45^{\(\circ\)}.