1. Первообразная: f(x) = x⁵ - 4x³ 2. Из таблицы: ∫ 2x dx 3. Множество первообразных: f(x) = eˣ 4. Вычислить: ∫₀⁴ (x - 1) dx 5. Формула Ньютона-Лейбница для ∫ₐᵇ f(x) dx 6. Площадь y = x³ от 0 до 1 7. Вычислить: ∫ (x + sin x) dx 8. Вычислить: ∫₂³ (1/x) dx 9. Площадь между y = 2x - x² и осью Ox

Решение:

1. Первообразная для функции \( f(x) = x^5 - 4x^3 \).
   Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
   \( F(x) = \int (x^5 - 4x^3) dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} - 4\frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^6}{6} - 4\frac{x^4}{4} + C = \frac{x^6}{6} - x^4 + C \)
2. Интеграл из таблицы: \( \int 2x dx \).
   \( \int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2\frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \)
3. Множество первообразных для функции \( f(x) = e^x \).
   Первообразная для \( e^x \) равна самой себе.
   \( F(x) = \int e^x dx = e^x + C \)
4. Вычислить определённый интеграл: \( \int_0^4 (x-1) dx \).
   \( \int_0^4 (x-1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_0^4 = \left( \frac{4^2}{2} - 4 \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 \right) = \left( \frac{16}{2} - 4 \right) - 0 = (8 - 4) = 4 \)
5. Формула Ньютона-Лейбница для \( \int_a^b f(x) dx \).
   Формула Ньютона-Лейбница гласит: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \).
6. Площадь фигуры, ограниченной графиком \( y = x^3 \), осью Ox, и прямыми \( x=0 \) и \( x=1 \).
   Так как \( y = x^3 \) неотрицательна на отрезке \( [0, 1] \), площадь равна определённому интегралу:
   \( S = \int_0^1 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \)
7. Вычислить интеграл: \( \int (x + \sin x) dx \).
   \( \int (x + \sin x) dx = \int x dx + \int \sin x dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C \)
8. Вычислить определённый интеграл: \( \int_2^3 \frac{1}{x} dx \).
   \( \int_2^3 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_2^3 = \ln(3) - \ln(2) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \)
9. Площадь фигуры, ограниченной графиком \( y = 2x - x^2 \) и осью Ox.
   Сначала найдём точки пересечения параболы \( y = 2x - x^2 \) с осью Ox (где \( y=0 \)):
   \( 2x - x^2 = 0 \)
   \( x(2-x) = 0 \)
   \( x_1 = 0, x_2 = 2 \)
   Так как ветви параболы направлены вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), функция \( y = 2x - x^2 \) положительна на интервале \( (0, 2) \).
   Площадь равна:
   \( S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: 1. \( \frac{x^6}{6} - x^4 + C \); 2. \( x^2 + C \); 3. \( e^x + C \); 4. \( 4 \); 5. \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \); 6. \( \frac{1}{4} \); 7. \( \frac{x^2}{2} - \cos x + C \); 8. \( \ln\left(\frac{3}{2}\right) \); 9. \( \frac{4}{3} \).