1. Площадь параллелограмма ABCD равна 160. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.

Дано:

Площадь параллелограмма ABCD = 160.


E — середина CD.

Найти:

Площадь трапеции ABED.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

S_{ABCD} = CD \(\cdot\) h

, где h — высота, опущенная на основание CD.

Площадь трапеции ABED можно найти как площадь параллелограмма минус площадь треугольника BCE:

S_{ABED} = S_{ABCD} - S_{BCE}


Треугольник BCE является прямоугольным (или нет, в зависимости от угла C, но его площадь можно найти как половину произведения основания на высоту).

Рассмотрим треугольник BCE. Основание CE равно половине основания CD, так как E — середина CD.

CE = \(\frac{1}{2}\) CD


Высота треугольника BCE, проведенная к основанию CE (или к его продолжению), равна высоте параллелограмма h.

Площадь треугольника BCE:

S_{BCE} = \(\frac{1}{2}\) · CE · h = \(\frac{1}{2}\) · \(\frac{1}{2} CD\) · h = \(\frac{1}{4}\) (CD · h)


Так как

CD · h = S_{ABCD} = 160

, то:

S_{BCE} = \(\frac{1}{4}\) · 160 = 40


Теперь найдем площадь трапеции ABED:

S_{ABED} = S_{ABCD} - S_{BCE} = 160 - 40 = 120


Альтернативное решение:

Площадь трапеции ABED равна полусумме оснований (AB и DE) умноженной на высоту h.

AB = CD

, так как это противоположные стороны параллелограмма.

DE = CD - CE = CD - \(\frac{1}{2}\) CD = \(\frac{1}{2}\) CD



S_{ABED} = \(\frac{AB + DE}{2}\) · h = \(\frac{CD + \frac{1}{2} CD}{2}\) · h = \(\frac{\frac{3}{2} CD}{2}\) · h = \(\frac{3}{4}\) (CD · h)



S_{ABED} = \(\frac{3}{4}\) · 160 = 3 · 40 = 120


Ответ:

120