1. Плоскости α и β параллельны. Дано: прямые a и b параллельны; a пересекает плоскости α и β в точках A и A₁, b — в точках B и B₁. Доказать: AB = A₁B₁.

Проведём через параллельные прямые a и b плоскость. Она пересекает α по прямой AB, а β — по прямой A₁B₁.

Так как α ∥ β, линии их пересечения с этой секущей плоскостью параллельны: AB ∥ A₁B₁. Четырёхугольник AA₁B₁B — параллелограмм: его стороны AA₁ и BB₁ лежат на параллельных прямых a и b, а AB ∥ A₁B₁.

Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AB = A₁B₁.

Ответ: AB = A₁B₁.