№ 1. По данным на рисунках 35, а)–г) найдите сторону x и площадь S: а) прямоугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника; в) квадрата; г) равностороннего треугольника.

а) Прямоугольник.

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю, угол между диагональю и вертикальной стороной равен \(60^\circ\). Поэтому

\(\tan 60^\circ=\dfrac{x}{6}\), откуда \(x=6\sqrt3\).

Площадь прямоугольника:

\(S=6\cdot6\sqrt3=36\sqrt3\).

б) Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Основание \(8\sqrt2\) — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника. Его катет:

\(x=\dfrac{8\sqrt2}{\sqrt2}=8\).

Площадь:

\(S=\dfrac12\cdot8\cdot8=32\).

в) Квадрат.

Диагональ квадрата равна \(6\). Сторона квадрата:

\(x=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\).

Площадь:

\(S=x^2=(3\sqrt2)^2=18\).

г) Равносторонний треугольник.

Высота равностороннего треугольника равна \(3\), поэтому

\(3=\dfrac{x\sqrt3}{2}\), откуда \(x=2\sqrt3\).

Площадь:

\(S=\dfrac12\cdot2\sqrt3\cdot3=3\sqrt3\).

Ответ: а) \(x=6\sqrt3\), \(S=36\sqrt3\); б) \(x=8\), \(S=32\); в) \(x=3\sqrt2\), \(S=18\); г) \(x=2\sqrt3\), \(S=3\sqrt3\).