1. По данным рисунка найдите расстояние между прямыми АВ и CD. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 44° меньше другого острого угла. Найдите величину большего острого угла. 3. В прямоугольном треугольнике КМР с прямым углом М проведена высота МН. КН=13. Найдите длину отрезка МК, если <HMP = 60°. 4. Решите задачу по данным рисунка АВ=5. Найдите DC.

Задание 1. Расстояние между параллельными прямыми

Дано:

• Параллельные прямые AB и CD.
• Прямая AC, пересекающая AB и CD.
• Угол BAC = 45°.
• AC = 11 см.

Найти: Расстояние между прямыми AB и CD.

Решение:

1. Расстояние между параллельными прямыми AB и CD — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую.
2. На рисунке из точки C проведена высота (перпендикуляр) к прямой AB. Обозначим основание этой высоты как H.
3. В прямоугольном треугольнике AHC, \( \angle CAH = 45^\circ \).
4. Так как \( \angle CHA = 90^\circ \), то \( \angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
5. Следовательно, треугольник AHC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где AH = CH.
6. По теореме Пифагора в треугольнике AHC: \( AH^2 + CH^2 = AC^2 \).
7. \( 2CH^2 = 11^2 = 121 \).
8. \( CH^2 = \frac{121}{2} \).
9. \( CH = \sqrt{\frac{121}{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2} \) см.
10. Расстояние между прямыми AB и CD равно CH.

Ответ: $$\frac{11\sqrt{2}}{2}$$ см.

Задание 2. Острые углы прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Один острый угол на 44° меньше другого.

Найти: Величина большего острого угла.

Решение:

1. Пусть больший острый угол равен \( x \).
2. Тогда меньший острый угол равен \( x - 44^\circ \).
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
4. Составляем уравнение: \( x + (x - 44^\circ) = 90^\circ \).
5. Решаем уравнение: \( 2x - 44^\circ = 90^\circ \).
6. \( 2x = 90^\circ + 44^\circ \).
7. \( 2x = 134^\circ \).
8. \( x = \frac{134^\circ}{2} = 67^\circ \).

Ответ: 67°.

Задание 3. Высота в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник KMP, \( \angle M = 90^\circ \).
• Высота MH.
• \( KH = 13 \).
• \( \angle HMP = 60^\circ \).

Найти: длину отрезка MK.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KHP. \( \angle KHP = 90^\circ \).
2. \( \angle KPH = 90^\circ - \angle KMP = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
3. В прямоугольном треугольнике KHP, катет KH лежит напротив угла KPH = 30°.
4. По свойству катета, противолежащего углу в 30°, гипотенуза KP равна удвоенному катету KH.
5. \( KP = 2 \times KH = 2 \times 13 = 26 \).
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KMP.
7. У нас есть гипотенуза KP = 26 и катет MP.
8. В прямоугольном треугольнике HMP, \( \angle MHP = 90^\circ \) и \( \angle HMP = 60^\circ \).
9. \( \angle MPH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
10. В прямоугольном треугольнике KMP, катет MP лежит напротив угла K.
11. \( \angle MKP = 90^\circ - \angle KPH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
12. В прямоугольном треугольнике KMP, катет MP = KP * cos(60°) = 26 * (1/2) = 13.
13. Найдем MK по теореме Пифагора: \( MK^2 + MP^2 = KP^2 \).
14. \( MK^2 + 13^2 = 26^2 \).
15. \( MK^2 + 169 = 676 \).
16. \( MK^2 = 676 - 169 = 507 \).
17. \( MK = \sqrt{507} = \sqrt{169 \times 3} = 13\sqrt{3} \).

Ответ: $$13\sqrt{3}$$.

Задание 4. Задача по рисунку

Дано:

• Четырехугольник ABCD.
• AB параллелен DC.
• Углы при вершинах A и B прямые (90°).
• AB = 5.

Найти: DC.

Решение:

1. Поскольку углы при A и B прямые, и AB параллелен DC, то ABCD является прямоугольником.
2. В прямоугольнике противоположные стороны равны.
3. Следовательно, DC = AB.
4. Так как AB = 5, то DC = 5.

Ответ: 5.