1) По графику функции $$y = f(x)$$, изображённому на рисунке, найдите: область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. 2) В одной системе координат постройте графики функций $$y = x^2$$ и $$y = \frac{8}{x}$$ и найдите координаты их точек пересечения.

Решение:

1. Анализ функции $$y = f(x)$$ по графику:

Чтобы дать ответ на этот пункт, мне нужен сам график функции $$y = f(x)$$. Без него я не могу определить:

• Область определения: все допустимые значения $$x$$.
• Множество значений: все возможные значения $$y$$.
• Нули функции: точки, где график пересекает ось $$Ox$$ (где $$y = 0$$).
• Промежутки знакопостоянства: интервалы, где $$y > 0$$ (выше оси $$Ox$$) или $$y < 0$$ (ниже оси $$Ox$$).
• Промежутки монотонности: интервалы, где функция возрастает (график идёт вверх слева направо) или убывает (график идёт вниз слева направо).

2. Построение графиков и нахождение точек пересечения:

Нам нужно построить в одной системе координат графики двух функций: $$y = x^2$$ и $$y = \frac{8}{x}$$.

График функции $$y = x^2$$:

Это парабола с вершиной в начале координат $$(0,0)$$, ветви направлены вверх. Для построения возьмём несколько точек:

• При $$x = 0$$, $$y = 0^2 = 0$$. Точка $$(0,0)$$.
• При $$x = 1$$, $$y = 1^2 = 1$$. Точка $$(1,1)$$.
• При $$x = -1$$, $$y = (-1)^2 = 1$$. Точка $$(-1,1)$$.
• При $$x = 2$$, $$y = 2^2 = 4$$. Точка $$(2,4)$$.
• При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 = 4$$. Точка $$(-2,4)$$.

График функции $$y = \frac{8}{x}$$:

Это гипербола. Она состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

• При $$x = 1$$, $$y = \frac{8}{1} = 8$$. Точка $$(1,8)$$.
• При $$x = 2$$, $$y = \frac{8}{2} = 4$$. Точка $$(2,4)$$.
• При $$x = 4$$, $$y = \frac{8}{4} = 2$$. Точка $$(4,2)$$.
• При $$x = 8$$, $$y = \frac{8}{8} = 1$$. Точка $$(8,1)$$.
• При $$x = -1$$, $$y = \frac{8}{-1} = -8$$. Точка $$(-1,-8)$$.
• При $$x = -2$$, $$y = \frac{8}{-2} = -4$$. Точка $$(-2,-4)$$.
• При $$x = -4$$, $$y = \frac{8}{-4} = -2$$. Точка $$(-4,-2)$$.
• При $$x = -8$$, $$y = \frac{8}{-8} = -1$$. Точка $$(-8,-1)$$.

Нахождение точек пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

\[ x^2 = \frac{8}{x} \]

Умножим обе части на $$x$$ (при условии, что $$x \neq 0$$):

\[ x^3 = 8 \]

Извлекаем кубический корень из обеих частей:

\[ x = \sqrt[3]{8} \]

\[ x = 2 \]

Теперь найдём соответствующее значение $$y$$, подставив $$x=2$$ в любое из уравнений. Возьмём $$y = x^2$$:

\[ y = 2^2 = 4 \]

Таким образом, точка пересечения графиков — $$(2,4)$$.

Примечание: Для полного ответа на первый пункт необходим рисунок. Второй пункт решён построением графиков и аналитическим нахождением точек пересечения.

Ответ: Точка пересечения графиков $$y = x^2$$ и $$y = \frac{8}{x}$$ имеет координаты $$(2, 4)$$.