1) По графику зависимости проекции скорости от времени определите перемещение тела за первые 8 секунд движения. Запишите уравнение движения тела (x = x(t)), если начальная координата равна 0.

Объяснение

Чтобы определить перемещение тела по графику зависимости скорости от времени, нужно найти площадь под графиком. Уравнение движения тела можно найти, используя начальную координату и найденную скорость (которая равна ускорению, так как скорость изменяется линейно).

График

Дан график зависимости проекции скорости ($$v_x$$) от времени ($$t$$). На графике видно, что скорость изменяется линейно. Скорость в начальный момент времени ($$t=0$$) равна 5 м/с. Скорость в момент времени $$t=8$$ с можно определить по графику. На оси t отмечены значения 0, 4, 8, 12. На оси $$v_x$$ отмечены значения 0, 5, 10, 15. Точка на графике при $$t=8$$ с соответствует $$v_x = 15$$ м/с.

Расчет перемещения

За первые 8 секунд движения тело двигалось с постоянным ускорением. График зависимости скорости от времени представляет собой трапецию. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. В данном случае основаниями являются начальная и конечная скорости, а высотой — время.

• Начальная скорость ($$v_{0x}$$) = 5 м/с
• Конечная скорость ($$v_{8x}$$) = 15 м/с
• Время ($$t$$) = 8 с

Формула для расчета перемещения ($$\Delta x$$) через площадь под графиком скорости:

\[ \Delta x = \frac{v_{0x} + v_{8x}}{2} \cdot t \]

\[ \Delta x = \frac{5 \text{ м/с} + 15 \text{ м/с}}{2} \cdot 8 \text{ с} \]

\[ \Delta x = \frac{20 \text{ м/с}}{2} \cdot 8 \text{ с} \]

\[ \Delta x = 10 \text{ м/с} \cdot 8 \text{ с} = 80 \text{ м} \]

Расчет ускорения

Ускорение ($$a_x$$) можно найти как наклон графика скорости:

\[ a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{8x} - v_{0x}}{t} \]

\[ a_x = \frac{15 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{8 \text{ с}} = \frac{10 \text{ м/с}}{8 \text{ с}} = 1.25 \text{ м/с}^2 \]

Уравнение движения

Уравнение движения тела с постоянным ускорением имеет вид:

\[ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} \]

По условию, начальная координата ($$x_0$$) равна 0.

\[ x(t) = 0 + 5t + \frac{1.25 t^2}{2} \]

\[ x(t) = 5t + 0.625 t^2 \]

Финальный ответ

Перемещение тела за первые 8 секунд: 80 м

Уравнение движения тела: $$x(t) = 5t + 0.625t^2$$