Ответ:

  1. Буду писать — простое глагольное сказуемое, выраженное глаголом в составной форме будущего времени.
  2. Не надо задирать — составное глагольное сказуемое: слово категории состояния «надо» и инфинитив «задирать»; «не» относится к слову «надо».
  3. Прыг — простое глагольное сказуемое, выраженное междометием в значении глагола (внезапное действие).
  4. Два сказуемых: не замечает — простое глагольное сказуемое, выраженное глаголом в изъявительном наклонении; хоть умри — простое глагольное сказуемое в придаточной уступительной части, выраженное глаголом в повелительном наклонении.
  5. Белый и сияющий — однородные именные сказуемые: краткое прилагательное «белый» и полное причастие «сияющий»; связка «есть» опущена.
  6. Начну работать — простое глагольное сказуемое, выраженное глаголом в составной форме будущего времени («начну» + инфинитив).