1. Подобные треугольники. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. 2. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения косинуса для углов 30°, 45°, 60°? 3. В треугольнике АВС известно, что АС = 54, BM — медиана, ВМ = 43. Найдите AM. 4. В параллелограмме АВСД высота, опущенная на сторону СД, делит её пополам и образует со стороной ВС угол 30°, АВ = 12см. Найти периметр параллелограмма.

Билет №2

1. Подобные треугольники: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.


2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношению соответствующих сторон).


3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника: Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
   
   
   • \(\cdotcos\) 30° = \(\cdot\)/2
   
   
   • \(\cdotcos\) 45° = \(\cdot\)/2
   
   
   • \(\cdotcos\) 60° = 1/2
   
   


4. Решение: BM — медиана, значит, M — середина стороны AC. Следовательно, AM = MC = AC / 2 = 54 / 2 = 27.


5. Решение: В параллелограмме ABCD, высота BH, опущенная на CD, делит CD пополам, значит, CH = HD = CD / 2. ∠ CBH = 30°. AB = 12 см. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD = 12 см. Высота BH перпендикулярна CD. В прямоугольном △ BHC: ∠ BCH = 180° - ∠ ABC. Угол между BC и высотой BH равен 30°, следовательно, ∠ BCH = 90° - 30° = 60°. Тогда BC = BH / sin 60°. Также, CD = 12 см. Так как BH делит CD пополам, то CH = 6 см. В △ BHC: BC^2 = BH^2 + CH^2. В △ ABH: AB^2 = BH^2 + AH^2. Дополнительные построения: Проведем высоту из B на CD, пусть это будет BH. По условию BH делит CD пополам, значит, DH = HC = CD/2. Так как ABCD - параллелограмм, то AB=CD=12. Значит, DH = HC = 6. Угол между BC и BH = 30°. В прямоугольном △ BHC, ∠ C = 90° - 30° = 60°. BC = HC / cos 60° = 6 / (1/2) = 12 см. Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC) = 2(12 + 12) = 2(24) = 48 см.

Ответ: 48 см.