1. Подобные треугольники. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. 2. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения косинуса для углов 30°, 45°, 60°? 3. В треугольнике ABC известно, что AC = 54, BM — медиана, BM = 43. Найдите AM. 4. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует со стороной BC угол 30°, AB = 12см. Найти периметр параллелограмма.

Билет №2.

1. Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношению соответственных сторон).
3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
   • \[ \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   • \[ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   • \[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]
4. Решение: BM — медиана треугольника ABC, значит, она делит сторону AC пополам. \[ AM = MC = \frac{AC}{2} \] \[ AM = \frac{54}{2} = 27 \]
5. Решение: В параллелограмме ABCD высота, опущенная из B на CD, делит CD пополам. Пусть эта высота — BH. Тогда H — середина CD. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD = 12 см. Значит, CH = HD = CD/2 = 12/2 = 6 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Угол BCH = 180° - ∠ABC. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Угол HBC = 90° - 30° = 60° (так как BH — высота, ∠BHC = 90°). В треугольнике BCH: ∠BCH + ∠HBC + ∠BHC = 180°. ∠BCH + 60° + 90° = 180°. ∠BCH = 180° - 150° = 30°. Так как ABCD — параллелограмм, BC = AD. Из прямоугольного треугольника BCH: \[ \sin(30°) = \frac{BH}{BC} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{BH}{BC} \] Также, CD = AB = 12 см. Высота BH делит CD пополам, значит, DH = HC = 6 см. Рассмотрим треугольник ABH. AB = 12. BH — высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Угол BCH = 30°, BC — гипотенуза, BH — катет, противолежащий углу 30°, HC — прилежащий катет. \[ \cos(30°) = \frac{HC}{BC} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC} \] \[ BC = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \] Периметр параллелограмма ABCD равен 2 * (AB + BC). \[ P = 2 * (12 + 4\sqrt{3}) = 24 + 8\sqrt{3} \] Пересмотр условия: Высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам. Это возможно, если параллелограмм является прямоугольником, и высота опущена из вершины B на CD, или если параллелограмм имеет специфические углы. Если высота BH делит CD пополам, то H — середина CD. В параллелограмме AB || CD, значит BH перпендикулярна AB. Это возможно только если AB перпендикулярна CD, т.е. ABCD - прямоугольник. Тогда AB=CD=12. BH - высота, опущенная на CD. BH делит CD пополам, т.е. CH = HD = 6. Угол между BC и BH = 30°. В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BHC=90°. ∠BCH = 30°. Тогда BC = HC / cos(30°) = 6 / (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) Условие некорректно или подразумевает, что параллелограмм - прямоугольник. Если ABCD - прямоугольник, то AB = CD = 12. BH - высота. H - середина CD. CH = 6. Угол CBH = 30°. В треугольнике BCH, BC = CH / sin(30°) = 6 / (1/2) = 12. Периметр = 2*(12+12) = 48. Другая трактовка: Высота, опущенная на CD (пусть это BH), делит CD пополам. Значит DH = HC. AB = CD = 12. DH = HC = 6. Угол между BC и BH = 30°. Это невозможно, так как BH - высота, значит BH перпендикулярна CD. Угол между BC и BH = 30° означает, что сам угол B в треугольнике BCH равен 60°. Тогда ∠BCH = 30°. В прямоугольном треугольнике BCH: BC = HC / cos(30°) = 6 / (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\). AB = 12. Периметр = 2 * (12 + \(\frac{12}{\sqrt{3}}\)) = 24 + \(\frac{24}{\sqrt{3}}\) Если высота опущена из A на CD (AH): AH делит CD пополам. DH = HC = 6. Угол между BC и AH = 30°. Это невозможно. Если высота опущена из B на AD (BE): BE делит AD пополам. AE = ED = 6. Угол между BC и BE = 30°. Это невозможно. Предположим, что высота опущена из B на CD, обозначим её BH. H лежит на CD. BH = ? Угол между BC и CD = ∠BCD. Угол между BC и BH = 30°. Перечитываем: "высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам". Пусть эта высота BH. H на CD. DH = HC = 6. AB = CD = 12. "образует со стороной BC угол 30°". Это может означать, что ∠CBH = 30°. Тогда в прямоугольном ΔBHC: BC = HC / cos(30°) = 6 / (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\). Периметр = 2 * (AB + BC) = 2 * (12 + \(\frac{12}{\sqrt{3}}\)). Альтернативно: Угол между продолжением BC и BH = 30°. Это также нелогично. Самая вероятная интерпретация: Параллелограмм ABCD. Высота BH к стороне CD. H на CD. DH = HC = 6. Угол ∠BCH = 30°. Тогда в прямоугольном ΔBHC, BC = HC / cos(30°) = 6 / (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\). AB = 12. Периметр = 2 * (12 + \(\frac{12}{\sqrt{3}}\)). Если бы сказано было: высота BH к стороне CD, а угол ∠CBH = 30°. Тогда в прямоугольном ΔBHC, BC = HC / sin(30°) = 6 / (1/2) = 12. Периметр = 2 * (12 + 12) = 48. Это более вероятный вариант для школьной задачи. Примем его. Условие: В параллелограмме ABCD высота BH опущена на CD. H - середина CD. Значит, DH = HC = AB/2 = 12/2 = 6 см. Угол между BC и BH = 30°. Это означает, что ∠CBH = 30° (подразумевается, что угол образуется между высотой и боковой стороной, идущей от той же вершины). В прямоугольном треугольнике BHC (∠BHC = 90°): \[ \sin(30°) = \frac{HC}{BC} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{6}{BC} \] \[ BC = 12 \] Периметр параллелограмма ABCD: \[ P = 2 * (AB + BC) = 2 * (12 + 12) = 2 * 24 = 48 \]

Ответ: 1. См. выше. 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), 1/2. 3. 27 см. 4. 48 см.