1. Пользуясь рисунком, решите задачи: 6) ∠4 = ∠3, ∠2 = 2∠1. Найдите ∠1 и ∠2; в) ∠1 = 55°, ∠2 = 125°, ∠5 : ∠3 = 3 : 1. Найдите ∠4

Решение:

Задача 6

По условию \( \angle 4 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = 2\angle 1 \).

Линии \( b \) и \( a \) параллельны, так как они перпендикулярны линии \( d \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются смежными, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \)

Подставим \( \angle 2 = 2\angle 1 \) в уравнение:

\( \angle 1 + 2\angle 1 = 180^{\circ} \)

\( 3\angle 1 = 180^{\circ} \)

\( \angle 1 = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \)

Теперь найдём \( \angle 2 \):

\( \angle 2 = 2\angle 1 = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \)

Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( b \) и \( a \) и секущей \( c \). Следовательно, \( \angle 3 = \angle 1 = 60^{\circ} \).

По условию \( \angle 4 = \angle 3 \), значит, \( \angle 4 = 60^{\circ} \).

Задача в)

По условию \( \angle 1 = 55^{\circ} \) и \( \angle 2 = 125^{\circ} \). Также дано, что \( \angle 5 : \angle 3 = 3 : 1 \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются смежными, и их сумма равна \( 55^{\circ} + 125^{\circ} = 180^{\circ} \), что подтверждает, что линии \( b \) и \( a \) параллельны (так как сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \) или накрест лежащие/соответственные углы равны).

Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( b \) и \( a \) и секущей \( c \). Следовательно, \( \angle 3 = \angle 1 = 55^{\circ} \).

По условию \( \angle 5 : \angle 3 = 3 : 1 \). Из этого следует, что \( \angle 5 = 3 \cdot \angle 3 \).

\( \angle 5 = 3 \cdot 55^{\circ} = 165^{\circ} \).

Углы \( \angle 4 \) и \( \angle 5 \) являются смежными, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 4 + \angle 5 = 180^{\circ} \)

\( \angle 4 + 165^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle 4 = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ} \)

Ответ: 6) \( \angle 1 = 60^{\circ}, \angle 2 = 120^{\circ} \); в) \( \angle 4 = 15^{\circ} \).