1. Понятия прямой и отрезка. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 2. Первый признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке \(\angle 1 = 37^{\circ}\), \(\angle 3 = 143^{\circ}\). Докажите, что \(a \parallel b\), и найдите \(\angle 2\).

1. Понятия прямой и отрезка. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Прямая — это геометрическая фигура, которая имеет только длину, бесконечна в обе стороны и не имеет ширины. Через две точки можно провести только одну прямую.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Две прямые на плоскости могут быть:

• Параллельными: они не пересекаются ни в одной точке.
• Пересекающимися: они имеют одну общую точку.

2. Первый признак равенства треугольников. Доказательство.

Теорема: Если два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A'B'C'\), \(AB = A'B'\), \(AC = A'C'\), \(\angle BAC = \angle B'A'C'\).

Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A'B'C'\).

Доказательство от противного:

Допустим, \(\triangle ABC \neq \triangle A'B'C'\). Наложим \(\triangle ABC\) на \(\triangle A'B'C'\) так, чтобы вершина \(A\) совпала с \(A'\), а сторона \(AB\) совместилась со стороной \(A'B'\).

Так как \(AB = A'B'\), то точка \(B\) совпадет с \(B'\).

Так как \(\angle BAC = \angle B'A'C'\), то сторона \(AC\) совместится со стороной \(A'C'\).

Так как \(AC = A'C'\), то точка \(C\) совпадет с \(C'\).

Следовательно, \(\triangle ABC\) совпадет с \(\triangle A'B'C'\). Это противоречит нашему допущению. Значит, \(\triangle ABC = \triangle A'B'C'\).

3. Доказательство параллельности прямых и нахождение \(\angle 2\).

Дано: На рисунке \(\angle 1 = 37^{\circ}\), \(\angle 3 = 143^{\circ}\).

Доказать: \(a \nparallel b\).

Найти: \(\angle 2\).

Доказательство:

Угол \(\angle 3\) и угол, смежный с \(\angle 1\) (обозначим его \(\angle 4\)), являются вертикальными углами.

\(\angle 1\) и \(\angle 4\) — смежные углы, их сумма равна \(180^{\circ}\).

\(\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 37^{\circ} = 143^{\circ}\).

Так как \(\angle 4 = \angle 3 = 143^{\circ}\) (вертикальные углы), то это подтверждает, что \(\angle 1\) и \(\angle 3\) даны верно.

Угол \(\angle 3\) и угол \(\angle 2\) являются смежными углами. Их сумма равна \(180^{\circ}\).

\(\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}\).

Угол \(\angle 1\) и угол \(\angle 2\) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\).

Так как \(\angle 1 = \angle 2 = 37^{\circ}\) (накрест лежащие углы равны), то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Вывод: \(a \nparallel b\) по признаку параллельности прямых (накрест лежащие углы равны).

Ответ: \(\angle 2 = 37^{\circ}\).