1. Построить эпюру N и найти удлинение стержня. E = 2 * 10^5 МПа, A = 10 cm^2. F1 = 30 кН, F2 = 15 кН. 2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать сечение прокатного швеллера при [σ] = 200 МПа. Diagrams provided show a cantilever beam with a load of 50 kN at 2m from the support and a uniformly distributed load of 40 kN/m over 1m. Another diagram shows a stepped bar with lengths 2m, 4m, 3m and cross-sectional areas A, 2A, A respectively, with forces F1=30kN and F2=15kN applied.

Решение задачи 1: Построение эпюры N и нахождение удлинения стержня.

Дано:
Модуль упругости \( E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^8 \text{ кН/м}^2 \)
Площадь поперечного сечения \( A = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \)
Сила \( F_1 = 30 \text{ кН} \)
Сила \( F_2 = 15 \text{ кН} \)
Длины участков: \( l_A = 2 \text{ м} \), \( l_{2A} = 4 \text{ м} \), \( l_A' = 3 \text{ м} \)

1. Построение эпюры N (продольных сил):

Разделим стержень на три участка в соответствии с изменением площади поперечного сечения и приложением сил.

• Участок 1 (0 ≤ x ≤ 2 м):
  Площадь сечения: \( A \).
  Рассмотрим равновесие отсечённой части стержня слева.
  Приложены силы \( F_1 = 30 \text{ кН} \) (вниз) и \( F_2 = 15 \text{ кН} \) (вниз).
  Продольная сила \( N_1(x) = -(F_1 + F_2) = -(30 + 15) = -45 \text{ кН} \).
  Знак "-" означает, что стержень растянут.
• Участок 2 (2 м < x ≤ 6 м):
  Площадь сечения: \( 2A \).
  Продольная сила \( N_2(x) = -(F_1 + F_2) = -45 \text{ кН} \).
  Здесь также растяжение.
• Участок 3 (6 м < x ≤ 9 м):
  Площадь сечения: \( A \).
  Продольная сила \( N_3(x) = -(F_1 + F_2) = -45 \text{ кН} \).
  Растяжение.

Эпюра N:
На всех участках стержня действует постоянная продольная сила \( N = -45 \text{ кН} \). Это означает, что стержень растянут по всей длине. Эпюра представляет собой прямоугольник на уровне \( -45 \text{ кН} \).

2. Нахождение удлинения стержня:

Удлинение стержня \( \Delta L \) определяется как сумма удлинений по каждому участку:

\[ \Delta L = \sum \frac{N_i \cdot l_i}{E \cdot A_i} \]

Участок 1: \( \Delta L_1 = \frac{N_1 \cdot l_A}{E \cdot A} = \frac{-45 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м}}{2 \cdot 10^5 \text{ МПа} \cdot 10 \text{ см}^2} = \frac{-45 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м}}{2 10^8 \text{ кН/м}^2 \cdot 10 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{-90}{200} = -0.45 \text{ мм} \)

Участок 2: \( \Delta L_2 = \frac{N_2 \cdot l_{2A}}{E \cdot (2A)} = \frac{-45 \text{ кН} \cdot 4 \text{ м}}{2 10^8 \text{ кН/м}^2 \cdot (2 10 10^{-4} \text{ м}^2)} = \frac{-180}{400} = -0.45 \text{ мм} \)

Участок 3: \( \Delta L_3 = \frac{N_3 \cdot l_{A'}}{E \cdot A} = \frac{-45 \text{ кН} \cdot 3 \text{ м}}{2 10^8 \text{ кН/м}^2 \cdot 10 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{-135}{200} = -0.675 \text{ мм} \)

Общее удлинение: \( \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_3 = -0.45 \text{ мм} - 0.45 \text{ мм} - 0.675 \text{ мм} = -1.575 \text{ мм} \)

Ответ: Эпюра N на всех участках равна -45 кН. Общее удлинение стержня составляет -1.575 мм (растяжение).

Решение задачи 2: Подбор сечения прокатного швеллера.

Дано:
Максимальное допустимое нормальное напряжение \( [\sigma] = 200 \text{ МПа} \)
Схема балки: консольная балка.
Расстояние от опоры до силы \( P_1 = 50 \text{ кН} \) - \( L_1 = 2 \text{ м} \).
Распределенная нагрузка \( q = 40 \text{ кН/м} \) на участке \( L_2 = 1 \text{ м} \).

1. Определение максимального изгибающего момента:

Максимальный изгибающий момент в консольной балке возникает у опоры.

Момент от сосредоточенной силы \( M_{F1} = P_1 \cdot L_1 = 50 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м} = 100 \text{ кН} \text{м} \).

Момент от распределенной нагрузки \( M_q = \frac{q \cdot L_2^2}{2} = \frac{40 \text{ кН/м} \cdot (1 \text{ м})^2}{2} = 20 \text{ кН} \text{м} \).

Максимальный изгибающий момент: \( M_{max} = M_{F1} + M_q = 100 \text{ кН} \text{м} + 20 \text{ кН} \text{м} = 120 \text{ кН} \text{м} \).

2. Подбор сечения швеллера:

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

\[ \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W} \le [\sigma] \]

Где \( W \) — момент сопротивления сечения.

Отсюда, минимальный требуемый момент сопротивления:

\[ W_{req} \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]} \]

Переведем единицы измерения:

\[ M_{max} = 120 \text{ кН} \text{м} = 120 \u0014 10^6 \text{ Н} \text{мм} \]

\[ [\sigma] = 200 \text{ МПа} = 200 \text{ Н/мм}^2 \]

\[ W_{req} \ge \frac{120 \u0014 10^6 \text{ Н} \text{мм}}{200 \text{ Н/мм}^2} = 600000 \text{ мм}^3 \]

Теперь необходимо обратиться к сортаменту прокатных швеллеров (ГОСТ 8240-97 или аналогичный) и выбрать швеллер, момент сопротивления которого \( W \) больше или равен \( 600000 \text{ мм}^3 \).

По стандартным таблицам моментов сопротивления для швеллеров:

• Швеллер №10: \( W = 51.5 \text{ см}^3 = 51500 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №12: \( W = 73.2 \text{ см}^3 = 73200 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №16: \( W = 117 \text{ см}^3 = 117000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №18: \( W = 148 \text{ см}^3 = 148000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №20: \( W = 183 \text{ см}^3 = 183000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №22: \( W = 230 \text{ см}^3 = 230000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №24: \( W = 283 \text{ см}^3 = 283000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №27: \( W = 356 \text{ см}^3 = 356000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №30: \( W = 444 \text{ см}^3 = 444000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №33: \( W = 553 \text{ см}^3 = 553000 \text{ мм}^3 \)
• Швеллер №36: \( W = 690 \text{ см}^3 = 690000 \text{ мм}^3 \)

Швеллер №36 имеет момент сопротивления \( W = 690000 \text{ мм}^3 \), что удовлетворяет условию \( W \ge 600000 \text{ мм}^3 \).

Ответ: Для обеспечения прочности следует подобрать прокатный швеллер №36.