1. Построить график функции \(y=x^2-2x-3\) [\(y=x^2+4x+3\)]. Найти: 1) наименьшее значение функции; 2) значения \(x\), при которых значение функции равно 5 [8]; 3) значения \(x\), при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; 4) промежутки, на которых функция возрастает; убывает.

Квадратные скобки содержат альтернативный вариант задания, поэтому приведены решения для обеих функций.

Вариант 1: \(y=x^2-2x-3\).

1. Выделим квадрат: \(y=(x-1)^2-4\). Парабола направлена вверх, поэтому вершина задаёт минимум: \(y_{\min}=-4\) при \(x=1\).
2. Приравняем функцию к 5: \(x^2-2x-3=5\), то есть \(x^2-2x-8=0\). Разложение на множители: \((x-4)(x+2)=0\). Следовательно, \(x=4\) или \(x=-2\).
3. Нули функции: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\), значит, \(x=-1\) и \(x=3\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция положительна при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\) и отрицательна при \(x\in(-1;3)\).
4. По вершине с абсциссой 1: функция убывает на \(( -\infty;1)\), возрастает на \((1;+\infty)\).

Вариант 2: \(y=x^2+4x+3\); требуется найти, когда функция равна 8.

1. Выделим квадрат: \(y=(x+2)^2-1\). Минимум равен \(-1\) при \(x=-2\).
2. Решаем \(x^2+4x+3=8\): \(x^2+4x-5=0\), \((x+5)(x-1)=0\). Значит, \(x=-5\) или \(x=1\).
3. Нули функции: \(x^2+4x+3=(x+3)(x+1)=0\), откуда \(x=-3,-1\). Функция положительна при \(x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)\), отрицательна при \(x\in(-3;-1)\).
4. Функция убывает на \(( -\infty;-2)\), возрастает на \((-2;+\infty)\).

Для построения графиков отметим вершины и точки пересечения с осями. У первой параболы вершина \((1;-4)\), нули \((-1;0)\), \((3;0)\); у второй — вершина \((-2;-1)\), нули \((-3;0)\), \((-1;0)\).

Ответ: для \(y=x^2-2x-3\): минимум \(-4\), значение 5 функция принимает при \(x=-2,4\). Для \(y=x^2+4x+3\): минимум \(-1\), значение 8 функция принимает при \(x=-5,1\). Промежутки знакопостоянства и монотонности указаны выше.