1. Построить график функции y = x² − 2x − 3. [y = x² + 4x + 3.] Найти: 1) наименьшее значение функции; 2) значения x, при которых значение функции равно 5 [8]; 3) значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; 4) промежутки, на которых функция возрастает; убывает.

Квадратные скобки содержат альтернативный вариант задания. Решения приведены для обеих функций: для первой целевое значение равно 5, для второй — 8.

Вариант 1: y = x² − 2x − 3.

1. Выделим полный квадрат: \(y=(x-1)^2-4\). Вершина параболы — \((1;-4)\), ветви направлены вверх, поэтому наименьшее значение функции равно −4.

2. Приравняем функцию к 5: \(x^2-2x-3=5\), значит \(x^2-2x-8=0\), \((x+2)(x-4)=0\). Следовательно, \(x=-2\) или \(x=4\).

3. Нули функции: \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0\), поэтому корни −1 и 3. Так как ветви направлены вверх, функция положительна при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\), отрицательна при \(x\in(-1;3)\).

4. Функция убывает на \((-\infty;1]\) и возрастает на \([1;+\infty)\).

Вариант 2: y = x² + 4x + 3.

1. Выделим полный квадрат: \(y=(x+2)^2-1\). Вершина — \((-2;-1)\), ветви направлены вверх; наименьшее значение равно −1.

2. Приравняем функцию к 8: \(x^2+4x+3=8\), откуда \((x+2)^2=6\). Следовательно, \(x=-2-\sqrt6\) или \(x=-2+\sqrt6\).

3. Нули функции: \(x^2+4x+3=(x+3)(x+1)=0\), корни −3 и −1. Функция положительна при \(x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)\), отрицательна при \(x\in(-3;-1)\).

4. Функция убывает на \((-\infty;-2]\) и возрастает на \([-2;+\infty)\).

На графике отмечены обе параболы; их вершины и точки пересечения с осями позволяют проверить построение.