1. Построить схематично график функции: а) y = √x, б) y = x⁷, в) y = 5ˣ и описать все свойства: 1) D(y); 2) E(y); 3) является ли функция ограниченной и где; 4) промежутки возрастания и убывания функции; 5) наибольшее и наименьшее значения функции; 6) чётная или нечётная функция, с объяснением. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [−1; 2].

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. Построить схематично график функции: а) y = √x, б) y = x⁷, в) y = 5ˣ и описать все свойства: 1) D(y); 2) E(y); 3) является…

1. Построить схематично график функции: а) y = √x, б) y = x⁷, в) y = 5ˣ и описать все свойства: 1) D(y); 2) E(y); 3) является ли функция ограниченной и где; 4) промежутки возрастания и убывания функции; 5) наибольшее и наименьшее значения функции; 6) чётная или нечётная функция, с объяснением. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [−1; 2].

Accepted Answer

Для каждой функции область определения и множество значений рассматриваются на всей числовой прямой, а последнее требование — отдельно на отрезке [−1; 2].

а) \(y=\sqrt{x}\)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(D(y)=[0; +\infty)\).
Корень неотрицателен, поэтому \(E(y)=[0; +\infty)\).
Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.
Возрастает на всей области определения: \([0; +\infty)\). Промежутков убывания нет.
Наименьшее значение — 0 при \(x=0\); наибольшего значения нет.
Функция не является ни чётной, ни нечётной: её область определения не симметрична относительно нуля.

На отрезке [−1; 2] функция определена только при \(x\in[0;2]\). На этом множестве она возрастает, поэтому минимум равен \(\sqrt{0}=0\), максимум — \(\sqrt{2}\).

б) \(y=x^7\)

\(D(y)=\mathbb{R}\).
\(E(y)=\mathbb{R}\).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
Возрастает на всей числовой прямой; промежутков убывания нет.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Функция нечётная, так как \((-x)^7=-x^7\).

На отрезке [−1; 2] функция возрастает, следовательно, минимум достигается при \(x=-1\): \(y=-1\); максимум — при \(x=2\): \(y=2^7=128\).

в) \(y=5^x\)

\(D(y)=\mathbb{R}\).
Поскольку \(5^x>0\), \(E(y)=(0; +\infty)\).
Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху. Значение 0 не достигается.
Так как основание 5 больше 1, функция возрастает на всей числовой прямой; промежутков убывания нет.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Функция не является ни чётной, ни нечётной: например, \(5^{-1}\ne 5^1\) и \(5^{-1}\ne-5^1\).

На отрезке [−1; 2] функция возрастает. Минимум: \(5^{-1}=\frac15\) при \(x=-1\); максимум: \(5^2=25\) при \(x=2\).

Ответ: на [−1; 2]: а) минимум 0, максимум \(\sqrt{2}\) (функция определена на части отрезка [0; 2]); б) минимум −1, максимум 128; в) минимум \(\frac15\), максимум 25.