1. Построить схематично графики функций: а) $y=2\sqrt{x}$, б) $y=x^5$, в) $y=x^{-7}$, и описать свойства: 1) область определения $D(y)$; 2) область значений $E(y)$; 3) ограниченность; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) наибольшее и наименьшее значения; 6) чётность или нечётность с объяснением. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1;2]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Построить схематично графики функций: а) $y=2\sqrt{x}$, б) $y=x^5$, в) $y=x^{-7}$, и описать свойства: 1) область…$ Фото задания

1. Построить схематично графики функций: а) $y=2\sqrt{x}$, б) $y=x^5$, в) $y=x^{-7}$, и описать свойства: 1) область определения $D(y)$; 2) область значений $E(y)$; 3) ограниченность; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) наибольшее и наименьшее значения; 6) чётность или нечётность с объяснением. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1;2]$.

Accepted Answer

Графики и свойства каждой из трёх указанных функций:

а) $y=2\sqrt{x}$. График начинается в точке $(0;0)$ и возрастает вправо.

$D(y)=[0;+\infty)$, поскольку подкоренное выражение неотрицательно.
$E(y)=[0;+\infty)$.
Ограничена снизу числом 0; сверху не ограничена.
Возрастает на всей области определения; промежутков убывания нет.
Наименьшее значение равно 0 при $x=0$; наибольшего значения нет.
Ни чётная, ни нечётная: область определения не симметрична относительно нуля.

б) $y=x^5$. График проходит через начало координат и монотонно возрастает.

$D(y)=\mathbb{R}$.
$E(y)=\mathbb{R}$.
Не ограничена ни сверху, ни снизу.
Возрастает на всей числовой прямой; промежутков убывания нет.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нечётная, поскольку $(-x)^5=-x^5$.

в) $y=x^{-7}=\dfrac{1}{x^7}$. При $x=0$ функция не определена; прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой графика.

$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
$E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Не ограничена ни сверху, ни снизу.
Убывает на каждом из промежутков $(-;0)$ и $(0;+)$, так как $y'=-7x^{-8}<0$ при $x\ne0$.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нечётная: $(-x)^{-7}=-x^{-7}$.

На отрезке $[-1;2]$: для а) функция определена только на части $[0;2]$, где её наименьшее значение равно 0, а наибольшее — $2\sqrt2$; на всём отрезке она не задана. Для б) функция непрерывна и возрастает, поэтому минимум $f(-1)=-1$, максимум $f(2)=32$. Для в) функция не определена при $x=0$ и не ограничена на области определения внутри отрезка, поэтому наибольшего и наименьшего значений на всём отрезке нет.

Если заключительная просьба относится к функции в), её наибольшего и наименьшего значений на $[-1;2]$ не существует.

Ответ: