1) Постройте ∆. AB: Из точки, данной окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Решение:

Задача заключается в нахождении угла между диаметром и хордой, проходящими из одной точки окружности, при условии, что длина хорды равна радиусу окружности.

1. Построение: Начертим окружность с центром в точке O. Из точки A (данной на окружности) проведем диаметр AB и хорду AC, длина которой равна радиусу окружности (AC = R).
2. Анализ треугольника ∆AOC: В треугольнике ∆AOC, OA и OC являются радиусами окружности, следовательно, OA = OC = R. Так как по условию AC = R, то ∆AOC является равносторонним.
3. Угол ∠AOC: Углы равностороннего треугольника равны 60°. Следовательно, ∠AOC = 60°.
4. Угол ∠ABC: Угол ∠ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠AOC. Вписанный угол равен половине центрального угла, поэтому ∠ABC = ∠AOC / 2 = 60° / 2 = 30°.
5. Угол ∠BAC: В равнобедренном треугольнике ∆ABC (так как AB - диаметр, а OA = OC = R, AC = R, то AB = 2R) углы при основании равны. Однако, проще найти угол ∠BAC, используя тот факт, что AB - диаметр. Угол ∠ACB, опирающийся на диаметр, является прямым, т.е. ∠ACB = 90°. В прямоугольном треугольнике ∆ABC сумма острых углов равна 90°. Следовательно, ∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 30° = 60°.
6. Искомый угол: Угол между диаметром AB и хордой AC равен ∠BAC.

Ответ: 60°