1. Постройте график функции y = {-2,5, если x<2, -x+1,5, если 2≤x≤3, x-5, если x>3. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Построение графика функции:

• Для x < 2: y = -x - 2.5. Это луч, который начинается в точке (2, -4.5) и идет влево вверх. При x=0, y=-2.5. При x=-2, y=0.
• Для 2 ≤ x ≤ 3: y = -x + 1.5. Это отрезок, соединяющий точки (2, -0.5) и (3, -1.5).
• Для x > 3: y = x - 5. Это луч, который начинается в точке (3, -2) и идет вправо вверх. При x=5, y=0.

2. Определение значений m:

• Визуально рассматривая график, мы видим, что горизонтальная линия y=m будет пересекать график в двух точках, если значение m находится в диапазоне между значениями y в «изломах» графика.
• Вершина первого луча (при x < 2) не имеет четкой верхней границы, но для двух пересечений мы должны смотреть на отрезки и другие лучи.
• Конечная точка первого луча (x=2) имеет координату y = -2 - 2.5 = -4.5. Начинающаяся точка второго отрезка (x=2) имеет y = -2 + 1.5 = -0.5.
• Конечная точка второго отрезка (x=3) имеет координату y = -3 + 1.5 = -1.5. Начинающаяся точка третьего луча (x=3) имеет y = 3 - 5 = -2.
• Таким образом, «изломы» и границы участков графика находятся в точках с y-координатами: -4.5 (начало первого луча), -0.5 (конец первого луча и начало второго), -1.5 (конец второго луча) и -2 (начало третьего луча).
• Горизонтальная прямая y=m будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда m находится в следующих интервалах:
• Между -4.5 (не включая) и -0.5 (не включая).
• Между -2 (не включая) и -1.5 (не включая).

Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (-4.5; -0.5) ∪ (-2; -1.5).