1. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3,\ если\ x\ge -3,\\x+9,\ при\ x<-3,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3,\ если\ x\ge -3,\\x+9,\ при\ x<-3,\end{cases}$ и определите, при каких…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3,\ если\ x\ge -3,\\x+9,\ при\ x<-3,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Преобразуем первую часть функции: $x^2+2x+3=(x+1)^2+2$. Это правая часть параболы с вершиной $(-1;2)$, заданная при $x\ge -3$. В точке $x=-3$ получаем $y=6$, поэтому точка $(-3;6)$ принадлежит параболе.

Вторая часть — луч прямой $y=x+9$ при $x<-3$. Точка $(-3;6)$ для этой части не включается.

Для пересечения с прямой $y=m$:

На прямой $y=x+9$ пересечение существует при $m<6$.
На параболе $y=(x+1)^2+2$ уравнение $(x+1)^2+2=m$ имеет два корня при \(2

При $m=2$ имеется одна точка на прямой и одна точка в вершине параболы: всего две точки.

При $m=6$ прямая даёт недопустимую точку $x=-3$, а парабола пересекается с горизонталью в точках $(-3;6)$ и $(1;6)$: всего две точки.

При \(2

Ответ: $m=2$ или $m=6$.

1. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+2x+3,\ если\ x\ge -3,\\x+9,\ при\ x<-3,\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: