1. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-6x+6,&x\ge2,\\x-3,&x<2.\end{cases}\) и опишите её свойства.

При \(x<2\) график задаётся прямой \(y=x-3\), при \(x\ge2\) — параболой \(y=x^2-6x+6=(x-3)^2-3\). В точке перехода прямая имеет выколотую точку \((2;-1)\), а парабола — закрашенную точку \((2;-2)\).

Свойства:

• Область определения: \(\mathbb R\).
• Область значений: \(\mathbb R\): прямая на \(x<2\) принимает все значения меньше \(-1\), а ветвь параболы — значения от \(-3\) до бесконечности.
• Нуль функции: \(x=3+\sqrt3\). Второй корень параболы \(3-\sqrt3<2\) не входит в область её применения; линейная ветвь нулей не имеет.
• Знак: функция отрицательна при \(x<3+\sqrt3\), равна нулю при \(x=3+\sqrt3\), положительна при \(x>3+\sqrt3\).
• Возрастает на \((-\infty;2)\) и \((3;+\infty)\); убывает на \((2;3)\).
• Наименьшее значение параболической ветви — \(-3\) при \(x=3\); это локальный минимум всей функции. Глобального максимума и глобального минимума нет.
• В точке \(x=2\) функция разрывна: левый предел равен \(-1\), значение функции и правый предел равны \(-2\).