1. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

При $x>2$: $y=-(x-4)^2$, это ветвь параболы с выколотой точкой $(2,-4)$. При $x\le 2$: $y=-0.5x-1$, причём точка $(2,-2)$ принадлежит графику.

На параболе уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $-(x-4)^2=m$. При $-4<m<0$ оно даёт две допустимые точки с $x>2$; при $m=-4$ точка $x=2$ исключена, а при $m=0$ получается одна точка.

На луче прямой пересечение существует при $m\ge -2$: из $-0.5x-1=m$ получаем $x=-2(m+1)$, и условие $x\le2$ равносильно $m\ge-2$.

Следовательно, при $-4<m<-2$ есть ровно две точки на параболе и нет точки на линейной части. При $m=0$ есть одна точка на параболе и одна на линейной части. На остальных значениях число точек не равно двум.

Ответ: $m\in(-4,-2)\cup\{0\}$.

1. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: