1. Постройте график функции $$y = \frac{4.5|x|-1}{|x|-4.5x^2}$$ Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Построение графика функции:

Для начала, преобразуем функцию, учитывая свойство модуля \(|x|\):

Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\). Функция принимает вид:

\[ y = \frac{4.5x-1}{x-4.5x^2} = \frac{4.5x-1}{x(1-4.5x)} \]

Знаменатель обращается в ноль при \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{4.5} = \frac{2}{9}\).

При \(x=0\), функция не определена. При \(x \to 0^+ \), числитель стремится к -1, знаменатель к 0 (положительный), следовательно \(y \to -\infty\).

При \(x \to \frac{2}{9}^- \) (слева от \(\frac{2}{9}\)), числитель стремится к \(4.5\cdot\frac{2}{9}-1 = 1-1 = 0\). Знаменатель стремится к \(\frac{2}{9}(1-4.5\cdot\frac{2}{9}) = \frac{2}{9}(1-1) = 0\). Используем правило Лопиталя или разложение:

Разложим знаменатель: \(x - 4.5x^2 = x(1-4.5x)\). Числитель \(4.5x - 1\). Заметим, что \(4.5x-1 = -4.5(x - \frac{1}{4.5}) = -4.5(x - \frac{2}{9})\).

Тогда при \(x \ge 0\):

\[ y = \frac{-4.5(x - \frac{2}{9})}{x(1-4.5x)} = \frac{-4.5(x - \frac{2}{9})}{x(1 - \frac{9}{2}x)} = \frac{-4.5(x - \frac{2}{9})}{x \frac{2}{9} (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}x)} = \frac{-4.5(x - \frac{2}{9})}{x \frac{2}{9} \frac{9}{2} (1 - x)} = \frac{-4.5(x - \frac{2}{9})}{x (1-x)} \]

Это не совсем верно. Вернемся к \(y = \frac{4.5x-1}{x-4.5x^2}\). При \(x=\frac{2}{9}\) имеем неопределенность \(rac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители, учитывая, что \(4.5x-1 = 0\) при \(x=\frac{2}{9}\) и \(x-4.5x^2 = x(1-4.5x) = 0\) при \(x=0\) и \(x=\frac{2}{9}\).

Числитель: \(4.5x - 1 = \frac{9}{2}x - 1 = \frac{9x-2}{2}\).

Знаменатель: \(x - 4.5x^2 = x(1 - 4.5x) = x(1 - \frac{9}{2}x) = x \frac{2-9x}{2} = -\frac{x}{2}(9x-2)\).

При \(x > 0 \) и \(x
e \frac{2}{9}\):

\[ y = \frac{\frac{9x-2}{2}}{-\frac{x}{2}(9x-2)} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} \]

Таким образом, для \(x > 0\), график функции совпадает с графиком \(y = -\frac{1}{x}\) с выколотыми точками при \(x=0\) (куда стремится асимптотически) и \(x=\frac{2}{9}\) (где было сокращение).

При \(x < 0\), то есть \(|x| = -x\):

\[ y = \frac{4.5(-x)-1}{-x-4.5x^2} = \frac{-4.5x-1}{-x(1+4.5x)} \]

Знаменатель обращается в ноль при \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{4.5} = -\frac{2}{9}\).

При \(x=0\) функция не определена.

Числитель: \(-4.5x - 1 = -(\frac{9}{2}x + 1) = -\frac{9x+2}{2}\).

Знаменатель: \(-x(1+4.5x) = -x(1+\frac{9}{2}x) = -x\frac{2+9x}{2} = -\frac{x}{2}(9x+2)\).

При \(x < 0 \) и \(x
e -\frac{2}{9}\):

\[ y = \frac{-\frac{9x+2}{2}}{-\frac{x}{2}(9x+2)} = \frac{1}{x} \]

Таким образом, для \(x < 0\), график функции совпадает с графиком \(y = \frac{1}{x}\) с выколотыми точками при \(x=0\) (куда стремится асимптотически) и \(x=-\frac{2}{9}\).

Итак, функция задана следующим образом:

\[ y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x > 0, x
e \frac{2}{9} \\ \frac{1}{x}, & x < 0, x
e -\frac{2}{9} \end{cases} \]

График состоит из двух ветвей гиперболы \(y = -\frac{1}{x}\) (в 1-й и 3-й четверти, но отраженной относительно оси X) для \(x > 0\) и \(y = \frac{1}{x}\) (в 1-й и 3-й четверти) для \(x < 0\), с выколотыми точками в \(x = \frac{2}{9}\) и \(x = -\frac{2}{9}\).

Выколотые точки:

• При \(x = \frac{2}{9}\) (для \(x>0\)): \(y = -\frac{1}{2/9} = -\frac{9}{2} = -4.5\). Точка: \((\frac{2}{9}, -4.5)\).
• При \(x = -\frac{2}{9}\) (для \(x<0\)): \(y = \frac{1}{-2/9} = -\frac{9}{2} = -4.5\). Точка: \((-\frac{2}{9}, -4.5)\).

График: