1) Постройте график функции y = \frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4} и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции:

Для начала упростим выражение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель:
  • \[ x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) \]
  • \[ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \]
• Знаменатель:
  • \[ x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4) \]

Теперь подставим разложенные множители в исходное выражение:

• \[ y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)} \]

Сокращаем общие множители (x+1) и (x+4) . Важно учесть, что x
eq -1 и x
eq -4 , так как знаменатель не может быть равен нулю.

• \[ y = (x+3)(x-2) \]
• \[ y = x^2 - 2x + 3x - 6 \]
• \[ y = x^2 + x - 6 \]

Это парабола с вершиной в точке x = -b/(2a) = -1/2 . Значение y в вершине: (-1/2)^2 + (-1/2) - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = -1/4 - 6 = -6.25 . Вершина параболы находится в точке (-0.5, -6.25) .

Однако, у нас есть ограничения: x
eq -1 и x
eq -4 . Найдем значения y в этих точках:

• При x = -1 : y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 . Точка (-1, -6) — выколотая.
• При x = -4 : y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 . Точка (-4, 6) — выколотая.

График функции — это парабола y = x^2 + x - 6 с двумя выколотыми точками: (-1, -6) и (-4, 6) .

Определение значений m:

Прямая y = m — это горизонтальная прямая. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции в следующих случаях:

• Когда прямая проходит через вершину параболы, но сама вершина не выколота. Вершина параболы (-0.5, -6.25) не выколота. Таким образом, при m = -6.25 будет ровно одна точка пересечения.
• Когда прямая проходит через одну из выколотых точек, а другая часть графика (не выколотая) пересекает эту прямую.
• Выколотая точка (-1, -6): Если m = -6 , прямая y = -6 будет иметь две точки пересечения с параболой: одну в выколотой точке (-1, -6) (которая не учитывается) и вторую точку. Найдем ее: x^2 + x - 6 = -6 => x^2 + x = 0 => x(x+1) = 0 . Решения x = 0 и x = -1 . То есть, кроме выколотой точки (-1, -6) , будет точка (0, -6) . В этом случае будет ровно одна общая точка (именно (0, -6) , так как (-1,-6) выколота). Итак, m = -6 — одно из решений.
• Выколотая точка (-4, 6): Если m = 6 , прямая y = 6 будет иметь две точки пересечения с параболой: одну в выколотой точке (-4, 6) (которая не учитывается) и вторую точку. Найдем ее: x^2 + x - 6 = 6 => x^2 + x - 12 = 0 => (x+4)(x-3) = 0 . Решения x = -4 и x = 3 . То есть, кроме выколотой точки (-4, 6) , будет точка (3, 6) . В этом случае будет ровно одна общая точка (именно (3, 6) , так как (-4,6) выколота). Итак, m = 6 — одно из решений.

Ответ: Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = -6.25 , m = -6 и m = 6 .