1. Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1,5$; б) значения $x$, при которых $y=2$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция убывает.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1,5$; б) значения $x$,…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1,5$; б) значения $x$, при которых $y=2$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция убывает.

Accepted Answer

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3$. Поэтому график — парабола с вершиной $(4;-3)$, осью симметрии $x=4$, ветвями вверх.

Для построения отметим вершину и симметричные точки: $(0;13)$, $(2;1)$, $(4;-3)$, $(6;1)$, $(8;13)$.

При $x=1.5$: $y=1.5^2-8\cdot1.5+13=2.25-12+13=3.25$.
При $y=2$: $(x-4)^2-3=2$, значит $(x-4)^2=5$, откуда $x=4\pm\sqrt5$ (приблизительно $1.76$ и $6.24$).
Нули функции: $(x-4)^2-3=0$, поэтому $x=4\pm\sqrt3$. Парабола направлена вверх, следовательно, $y>0$ при $x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\\infty)$, а $y<0$ при $x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)$.
До вершины парабола убывает, поэтому функция убывает на $(-\infty;4]$.

Ответ: а) $3.25$; б) $x=4\pm\sqrt5$; в) нули $4\pm\sqrt3$, $y>0$ при $x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty)$, $y<0$ при $x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)$; г) функция убывает на $(-\infty;4]$.