1. Постройте график функции y = {x²+2x+3, если x≥-3, x+9, при x<-3, и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции y = {x²+2x+3, если x≥-3, x+9, при x<-3

Пошаговое решение:

1. Часть 1: y = x²+2x+3 при x≥-3
   Это парабола. Найдем вершину: x₀ = -b/(2a) = -2/(2*1) = -1.
   y₀ = (-1)² + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.
   Вершина параболы находится в точке (-1, 2).
   Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положительный), и x≥-3, то значение функции в точке x=-3 равно: y = (-3)² + 2*(-3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6.
   Итак, эта часть графика — часть параболы с вершиной в (-1, 2), начинающаяся с точки (-3, 6) и идущая вверх.
2. Часть 2: y = x+9 при x<-3
   Это прямая линия.
   Найдем значение y при x, приближающемся к -3 слева: y = -3 + 9 = 6.
   Таким образом, при x=-3 обе части функции сходятся в точке (-3, 6).
   Эта часть графика — луч, исходящий из точки (-3, 6) и идущий влево и вверх (так как коэффициент при x положительный).
3. Определение значений m для двух точек пересечения
   Прямая y=m — это горизонтальная линия. Чтобы она пересекала график ровно в двух точках, она должна проходить:
   — Выше вершины параболы (y=2), но ниже точки (-3, 6), то есть 2 < m < 6.
   — Или ниже вершины параболы, но тогда она пересечет только одну часть графика (прямую), что не даст двух точек.

Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при 2 < m < 6.