1. Постройте график функции y = x² − 4x − 3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции и промежутки, в которых функция положительна и отрицательна; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат: \(y=(x-2)^2-7\). Поэтому вершина параболы — \((2;-7)\), ось симметрии — \(x=2\), ветви направлены вверх.

а) Подставим \(x=0.5\): \(y=0.5^2-4\cdot0.5-3=0.25-2-3=-4.75\).

б) Решим уравнение: \(x^2-4x-3=3\), откуда \(x^2-4x-6=0\). По формуле корней получаем \(x=2\pm\sqrt{10}\).

в) Нули функции найдём из уравнения \(x^2-4x-3=0\): \(x=2\pm\sqrt{7}\). Парабола направлена вверх, поэтому функция положительна при \(x<2-\sqrt{7}\) и \(x>2+\sqrt{7}\), отрицательна при \(2-\sqrt{7}<x<2+\sqrt{7}\).

г) Координата вершины по оси \(x\) равна 2; до вершины функция убывает, после неё возрастает.

Ответ: а) −4,75; б) \(x=2\pm\sqrt{10}\); в) нули \(2\pm\sqrt{7}\), функция положительна вне промежутка между нулями и отрицательна внутри; г) функция возрастает при \(x>2\).