1. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Преобразуем выражение: y = (x − 2)² − 9. Это парабола с ветвями вверх и вершиной (2; −9).

а) Подставим x = 0,5: y = 0,5² − 4 · 0,5 − 5 = 0,25 − 2 − 5 = −6,75.

б) Приравняем функцию к 3: x² − 4x − 5 = 3, откуда x² − 4x − 8 = 0. По формуле корней получаем x = 2 − 2√3 или x = 2 + 2√3.

в) Нули функции найдём из уравнения x² − 4x − 5 = 0 = (x − 5)(x + 1). Поэтому нули: x = −1 и x = 5. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между ними: y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞), y < 0 при x ∈ (−1; 5).

г) Парабола убывает до вершины и возрастает после неё. Функция возрастает при x ∈ (2; +∞).