1. Постройте график функции y = x²-6x+5. Найдите: а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 4]; б) промежутки возрастания и убывания функции; 2. Решите уравнение 14x² + 25x - 84 = 0 . 3. Решите неравенство 2x-3 4x+1 <------- 6 7 и найдите его наименьшее целочисленное решение. 4. Электронный завод получил заказ на изготовление 300 новых электронных игр. Изготавливая в день на 10 игр больше запланированного, завод выполнил заказ на 1 день раньше срока. Сколько электронных игр в день изготавливал завод? 5. Дана функция y = f(x), где f(x) = √x. Найдите f (x – 5), если x = 1 1 =(2-√3 2+√3-√75.

1. График функции y = x² - 6x + 5:

а) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1; 4]:

Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3. Эта точка попадает в отрезок [1; 4].

Значения функции на концах отрезка:

• y(1) = 1² - 6*1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0
• y(4) = 4² - 6*4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3

Значение в вершине:

• y(3) = 3² - 6*3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

Наибольшее значение функции на отрезке [1; 4] равно 0 (достигается при x = 1).

Наименьшее значение функции на отрезке [1; 4] равно -4 (достигается при x = 3).

б) Промежутки возрастания и убывания функции:

Парабола с ветвями вверх. Вершина в x = 3.

• Функция убывает на промежутке (−∞; 3].
• Функция возрастает на промежутке [3; +∞).

2. Решение уравнения 14x² + 25x - 84 = 0:

Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac

• a = 14, b = 25, c = -84
• D = 25² - 4 * 14 * (-84) = 625 + 4704 = 5329
• √D = √5329 = 73

Найдем корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-25 + 73) / (2 * 14) = 48 / 28 = 12 / 7
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-25 - 73) / (2 * 14) = -98 / 28 = -7 / 2

Ответ: x₁ = 12/7, x₂ = -7/2

3. Решение неравенства:

\[ \frac{2x-3}{6} < \frac{4x+1}{7} \]

Приведем к общему знаменателю 42:

\[ \frac{7(2x-3)}{42} < \frac{6(4x+1)}{42} \]

Умножим обе части на 42 (положительное число, знак неравенства не меняем):

\[ 7(2x-3) < 6(4x+1) \]

\[ 14x - 21 < 24x + 6 \]

Перенесем члены с x в правую часть, а числа — в левую:

\[ -21 - 6 < 24x - 14x \]

\[ -27 < 10x \]

\[ x > -2.7 \]

Наименьшее целочисленное решение неравенства — это ближайшее целое число, большее -2.7. Это число -2.

Ответ: -2

4. Решение задачи о заводе:

Пусть x — запланированное количество игр, которое завод должен изготавливать в день.

Тогда срок выполнения заказа составил бы x/300 дней.

Фактически завод изготавливал x + 10 игр в день.

Время фактического выполнения заказа: 300 / (x + 10) дней.

По условию, заказ был выполнен на 1 день раньше, поэтому:

\[ \frac{300}{x} - \frac{300}{x+10} = 1 \]

Умножим обе части на x(x+10):

\[ 300(x+10) - 300x = x(x+10) \]

\[ 300x + 3000 - 300x = x² + 10x \]

\[ 3000 = x² + 10x \]

\[ x² + 10x - 3000 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

D = 10² - 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100

√D = √12100 = 110

x₁ = (-10 + 110) / 2 = 100 / 2 = 50

x₂ = (-10 - 110) / 2 = -120 / 2 = -60 (не подходит, т.к. количество игр не может быть отрицательным)

Итак, запланированное количество игр в день было 50.

Фактически изготавливали: 50 + 10 = 60 игр в день.

Ответ: Завод изготавливал 60 электронных игр в день.

5. Вычисление f(x-5):

Дано: f(x) = √x

Чтобы найти f(x-5), заменим x на (x-5) в выражении для f(x):

f(x-5) = √(x-5)

Теперь найдем значение x:

x = 1 2-√3 ⋅ 1 2+√3 -√75

Сначала умножим первые два множителя (разность квадратов):

\[ \frac{1}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{1}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4 - 3} = \frac{1}{1} = 1 \]

Теперь вычтем √75:

x = 1 - √75

Упростим √75:

√75 = √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3

Итак, x = 1 - 5√3

Теперь подставим это значение x в f(x-5) = √(x-5):

f(x-5) = √((1 - 5√3) - 5)

f(x-5) = √(-4 - 5√3)

Поскольку подкоренное выражение отрицательное (-4 - 5√3 < 0), данное выражение не имеет действительных значений.

Ответ: f(x-5) = √(-4 - 5√3) (действительные значения отсутствуют)