№1. Постройте графики функций: а) \(y=-x^2-2x+1\); б) \(y=x^2+4\). Укажите для каждой функции: 1) область определения; 2) множество значений; 3) промежутки возрастания и убывания; 4) нули функции; 5) наибольшее и наименьшее значения функции.

а) \(y=-x^2-2x+1\)

Выделим полный квадрат: \(y=-(x+1)^2+2\). Значит, вершина параболы — \((-1;2)\), ветви направлены вниз.

Для построения удобно отметить точки \((-3;-2),(-2;1),(-1;2),(0;1),(1;-2)\).

1) Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).

2) Так как наибольшее значение достигается в вершине, множество значений: \(E(y)=(-\infty;2]\).

3) Функция возрастает на \((-\infty;-1]\) и убывает на \([-1;+\infty)\).

4) Найдём нули: \(-(x+1)^2+2=0\), откуда \((x+1)^2=2\) и \(x=-1\pm\sqrt{2}\).

5) Наибольшее значение равно \(2\) при \(x=-1\). Наименьшего значения нет.

б) \(y=x^2+4\)

Вершина параболы — \((0;4)\), ветви направлены вверх.

Для построения отметьте точки \((-2;8),(-1;5),(0;4),(1;5),(2;8)\).

1) Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).

2) Поскольку \(x^2\geq 0\), множество значений: \(E(y)=[4;+\infty)\).

3) Функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).

4) Нулей нет: уравнение \(x^2+4=0\) не имеет действительных корней.

5) Наименьшее значение равно \(4\) при \(x=0\). Наибольшего значения нет.