№1. Постройте графики функций: а) y = −x² − 2x + 1; б) y = x² + 4. Укажите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) промежутки возрастания и убывания функции; 4) нули функции; 5) наибольшее и наименьшее значения функции.

Приведём функции к виду, по которому видны вершины парабол:

а) \(y=-x^2-2x+1=-(x+1)^2+2\). Вершина параболы — \((-1;2)\), ветви направлены вниз.

б) \(y=x^2+4\). Вершина параболы — \((0;4)\), ветви направлены вверх.

а) \(y=-(x+1)^2+2\)

1. Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\), поскольку квадратный трёхчлен определён при каждом действительном \(x\).
2. Множество значений: \((-;2]\). Наибольшее значение достигается в вершине и равно 2.
3. Функция возрастает на \((-;-1]\) и убывает на \([-1;+)\).
4. Нули: \(-(x+1)^2+2=0\), значит \((x+1)^2=2\), откуда \(x=-1\pm\sqrt2\).
5. Наибольшее значение — 2 при \(x=-1\); наименьшего значения нет.

б) \(y=x^2+4\)

1. Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).
2. Множество значений: \([4;+)\), так как \(x^2\geq0\).
3. Функция убывает на \((-;0]\) и возрастает на \([0;+)\).
4. Нулей нет: равенство \(x^2+4=0\) не имеет действительных решений.
5. Наименьшее значение — 4 при \(x=0\); наибольшего значения нет.