1. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через точки A, B₁, D₁, и найдите периметр и площадь сечения, если ребро куба равно 8.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B₁ и D₁. Она пересекает куб по треугольнику AB₁D₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B₁(8; 0; 8), D₁(0; 8; 8).

Найдём длины сторон сечения:

\(AB₁=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\).

Аналогично, \(AD₁=8\sqrt{2}\) и \(B₁D₁=8\sqrt{2}\).

Следовательно, сечение — равносторонний треугольник.

Периметр:

\(P=3\cdot8\sqrt{2}=24\sqrt{2}\).

Площадь равностороннего треугольника:

\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}(8\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot128=32\sqrt{3}\).

Ответ: сечение — равносторонний треугольник AB₁D₁; \(P=24\sqrt{2}\), \(S=32\sqrt{3}\).